Номер 37.6, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.6. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1};$

2) $f(x) = 3x-x^2.$

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0$

$\frac{x-1}{x^2+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2+1$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Следовательно, решаем уравнение:

$x-1 = 0 \implies x_0 = 1$.

Итак, точка касания имеет абсциссу $x_0=1$. Ордината этой точки $y_0 = f(1) = \frac{1-1}{1^2+1} = 0$. Точка касания — $(1, 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:

$k = f'(1) = \frac{-(1)^2 + 2(1) + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{(2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) $f(x) = 3x - x^2$

Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$:

$3x - x^2 = 0$

$x(3-x) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью абсцисс, и мы должны составить уравнения касательных в каждой из этих точек.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

Случай 1: Точка касания с абсциссой $x_1 = 0$.

Ордината точки касания $y_1 = f(0) = 3(0) - 0^2 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_1 = f'(0) = 3 - 2(0) = 3$.

Уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x-0)$

$y = 0 + 3(x-0)$

$y = 3x$

Случай 2: Точка касания с абсциссой $x_2 = 3$.

Ордината точки касания $y_2 = f(3) = 3(3) - 3^2 = 9 - 9 = 0$. Точка касания — $(3, 0)$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_2 = f'(3) = 3 - 2(3) = 3 - 6 = -3$.

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x-3)$

$y = 0 + (-3)(x-3)$

$y = -3x + 9$

Таким образом, мы получили два уравнения касательных, так как график функции пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: $y=3x$ и $y=-3x+9$.