Номер 37.4, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.4. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = 2x^3 - 5x + 2;$

2) $f(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right).$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Нам нужно найти уравнение касательной в точке пересечения графика функции с осью ординат. Для любой точки на оси ординат абсцисса $x_0 = 0$.

1) Дана функция $f(x) = 2x^3 - 5x + 2$.

1. Найдем координаты точки касания. Абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Найдем соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(0) = 2 \cdot 0^3 - 5 \cdot 0 + 2 = 2$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 - 5x + 2)' = 6x^2 - 5$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 = -5$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=-5$ в общее уравнение касательной:

$y = 2 + (-5)(x - 0)$

$y = 2 - 5x$

Ответ: $y = -5x + 2$

2) Дана функция $f(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$.

1. Найдем координаты точки касания. Абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Найдем соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(0) = \sin(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = f'(0) = 3\cos(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(-\frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ в общее уравнение касательной:

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}(x - 0)$

$y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$