Номер 37.5, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = 8x^3 - 1;$

2) $f(x) = x - \frac{1}{x}.$

1) $f(x) = 8x^3 - 1$

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку касания. По условию, это точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть точка, в которой $y = f(x) = 0$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x_0 = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}; 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8x^3 - 1)' = 8 \cdot 3x^2 - 0 = 24x^2$.

Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{2}$:

$k = f'(\frac{1}{2}) = 24 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$.

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 6$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 6(x - \frac{1}{2})$

$y = 6x - 3$

Ответ: $y = 6x - 3$.

2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$

Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$. Область определения функции: $x \neq 0$.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 - 1 = 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Следовательно, у графика есть две точки касания с осью абсцисс, и нужно составить два уравнения касательных.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \frac{1}{x})' = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.

Случай 1: Точка касания $(-1; 0)$, где $x_0 = -1$.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_1 = f'(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^2} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной в точке $(-1; 0)$:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = 0 + 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

Случай 2: Точка касания $(1; 0)$, где $x_0 = 1$.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_2 = f'(1) = 1 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной в точке $(1; 0)$:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = 0 + 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Ответ: $y = 2x + 2$ и $y = 2x - 2$.