Номер 37.2, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0;$

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

4) $f(x) = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right), x_0 = -\frac{\pi}{2};$

5) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}, x_0 = -1;$

6) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}, x_0 = 3.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке касания, а $f'(x_0)$ — значение производной в той же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.

1) $f(x) = 2x^3 - 3x, x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 - 3x)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 = 6x^2 - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 6 \cdot 1^2 - 3 = 6 - 3 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:

$y = -1 + 3(x - 1)$

$y = -1 + 3x - 3$

$y = 3x - 4$

Ответ: $y = 3x - 4$.

2) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 0,5 \cdot 2x - 2 = x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 0 - 2 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(0) = 2$ и $f'(0) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 2$.

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $f'(\frac{\pi}{2}) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1)(x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

4) $f(x) = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}), x_0 = -\frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(-\frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (\text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{2}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -1 + (-2)(x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 - 2(x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1 - 2x - \pi$

Ответ: $y = -2x - \pi - 1$.

5) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = \sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 3x}} \cdot (4x^2 + 3x)' = \frac{8x + 3}{2\sqrt{4x^2 + 3x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \frac{8(-1) + 3}{2\sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)}} = \frac{-8 + 3}{2\sqrt{1}} = \frac{-5}{2} = -2,5$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2,5)(x - (-1))$

$y = 1 - 2,5(x + 1)$

$y = 1 - 2,5x - 2,5$

$y = -2,5x - 1,5$

Ответ: $y = -2,5x - 1,5$.

6) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}, x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3}{3 - 2} = \frac{9 - 12}{1} = -3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило дифференцирования частного):

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4x)'(x - 2) - (x^2 - 4x)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) \cdot 1}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 8}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 + 8}{1^2} = \frac{5}{1} = 5$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 5(x - 3)$

$y = -3 + 5x - 15$

$y = 5x - 18$

Ответ: $y = 5x - 18$.