Номер 37.3, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.3. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = x^2 - 3x - 3$;

2) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Точка пересечения графика функции с осью ординат (осью y) — это точка, в которой абсцисса $x$ равна нулю. Следовательно, $x_0 = 0$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_0 = f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка касания — $(0; -3)$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = x^2 - 3x - 3$:
$f'(x) = (x^2)' - (3x)' - (3)' = 2x - 3$.
Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = -3$ и $f'(x_0) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-3)(x - 0)$
$y = -3x - 3$.
Ответ: $y = -3x - 3$.

2) Найдем уравнение касательной для функции $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$. Точка касания — это точка пересечения с осью ординат, поэтому абсцисса $x_0 = 0$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_0 = f(0) = \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Так как функция косинус четная ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:
$y_0 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Точка касания — $(0; \frac{1}{2})$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2}$.
Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Так как функция синус нечетная ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.