Номер 37.10, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.10. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведенная в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3, \alpha = 45^\circ$;

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2, \alpha = 60^\circ$;

3) $f(x) = \sqrt{3x} + 2, \alpha = 45^\circ$;

4) $f(x) = \frac{x+7}{x-2}, \alpha = 135^\circ$.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $f(x)$, в которой угловой коэффициент касательной равен тангенсу заданного угла $\alpha$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $f'(x_0)$. Таким образом, необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 7x + 3$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 7x + 3)' = 2x - 7$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$

$2x_0 - 7 = 1$

$2x_0 = 8$

$x_0 = 4$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 3 = 16 - 28 + 3 = -9$.

Искомая точка имеет координаты $(4, -9)$.

Ответ: $(4, -9)$.

2)

Дана функция $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$ и угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2)' = -6x + 2\sqrt{3}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(60^\circ)$

$-6x_0 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

$-6x_0 = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$-6x_0 = -\sqrt{3}$

$x_0 = \frac{-\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) = -3\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) - 2$

$y_0 = -3\left(\frac{3}{36}\right) + \frac{2 \cdot 3}{6} - 2 = -3 \cdot \frac{1}{12} + 1 - 2 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$.

Искомая точка имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4}\right)$.

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+2}$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{3x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+2}} \cdot (3x+2)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$

$\frac{3}{2\sqrt{3x_0+2}} = 1$

$2\sqrt{3x_0+2} = 3$

$\sqrt{3x_0+2} = \frac{3}{2}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$3x_0+2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$3x_0 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$

$x_0 = \frac{1}{12}$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f\left(\frac{1}{12}\right) = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{12} + 2} = \sqrt{\frac{3}{12} + 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{1+8}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Искомая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{12}, \frac{3}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{12}, \frac{3}{2}\right)$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{x+7}{x-2}$ и угол $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x+7)'(x-2) - (x+7)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+7) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-7}{(x-2)^2} = \frac{-9}{(x-2)^2}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(135^\circ)$

$\frac{-9}{(x_0-2)^2} = -1$

$(x_0-2)^2 = 9$

$x_0-2 = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Уравнение имеет два корня:

$x_{0,1} = 3 + 2 = 5$

$x_{0,2} = -3 + 2 = -1$

4. Найдём соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:

При $x_0 = 5$: $y_0 = f(5) = \frac{5+7}{5-2} = \frac{12}{3} = 4$. Первая точка: $(5, 4)$.

При $x_0 = -1$: $y_0 = f(-1) = \frac{-1+7}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2$. Вторая точка: $(-1, -2)$.

Ответ: $(5, 4)$ и $(-1, -2)$.