Номер 37.12, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.12. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = 6 - x - x^3$;

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$.

1) $f(x) = 6 - x - x^3$

Для того чтобы доказать, что любая касательная к графику функции $f(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо показать, что угловой коэффициент касательной отрицателен в любой точке области определения. Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0)$. Угол $α$ является тупым, если его тангенс отрицателен, то есть $\tan(α) = k < 0$. Следовательно, нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Область определения функции $f(x) = 6 - x - x^3$ — все действительные числа, $D(f) = R$, так как это полиномиальная функция.

Найдём производную функции:
$f'(x) = (6 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $1 + 3x^2 \ge 1$, то есть выражение $1 + 3x^2$ всегда положительно. Тогда $f'(x) = -(1 + 3x^2)$ всегда отрицательно. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x \in R$.

Так как производная отрицательна на всей области определения, то и тангенс угла наклона касательной в любой точке отрицателен. Это означает, что любая касательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$

Как и в предыдущем случае, докажем, что производная $f'(x)$ отрицательна на всей области определения функции.

Область определения данной дробно-рациональной функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдём производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{5 - x}{x - 3}\right)' = \frac{(5-x)'(x-3) - (5-x)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{-1 \cdot (x-3) - (5-x) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-x + 3 - 5 + x}{(x-3)^2} = \frac{-2}{(x-3)^2}$.

Проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{-2}{(x-3)^2}$. Числитель дроби равен $-2$, он отрицателен. Знаменатель $(x-3)^2$ является квадратом числа, и для любого $x$ из области определения ($x \ne 3$) он строго положителен: $(x-3)^2 > 0$.

Следовательно, производная $f'(x)$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна на всей области определения. Так как $f'(x) < 0$ для всех $x \in D(f)$, то тангенс угла наклона касательной в любой точке графика отрицателен, и, соответственно, угол является тупым.

Ответ: Доказано.