Номер 37.11, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.11. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}$, $\alpha = 60^{\circ}$;

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$, $\alpha = 45^{\circ}$.

1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, $k = \tan(\alpha)$. Следовательно, чтобы найти искомую точку, нужно решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{3}x - \frac{x^3}{3})' = \sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = \sqrt{3} - x^2$.

Теперь вычислим тангенс заданного угла $\alpha$:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Теперь приравняем значение производной к тангенсу угла, чтобы найти абсциссу искомой точки $x_0$:
$f'(x_0) = \tan(60^\circ)$
$\sqrt{3} - x_0^2 = \sqrt{3}$
$-x_0^2 = 0$
$x_0 = 0$.

Далее найдём ординату точки, подставив значение $x_0 = 0$ в исходную функцию:
$y_0 = f(0) = \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{0^3}{3} = 0$.

Искомая точка на графике функции — $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$.

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ$

Действуем по тому же алгоритму.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 4x + 1$.

Вычислим тангенс заданного угла $\alpha$:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Приравняем производную к тангенсу угла, чтобы найти абсциссы искомых точек $x_0$:
$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$
$3x_0^2 - 4x_0 + 1 = 1$
$3x_0^2 - 4x_0 = 0$
$x_0(3x_0 - 4) = 0$.

Получаем два возможных значения для абсциссы:
$x_{0,1} = 0$
$3x_{0,2} - 4 = 0 \implies x_{0,2} = \frac{4}{3}$.

Теперь найдём соответствующие ординаты для каждой абсциссы.
При $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 1 = -1$.
Первая искомая точка: $(0, -1)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:
$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} - 1$.
Приводя к общему знаменателю 27, получаем:
$y_2 = \frac{64}{27} - \frac{32 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{27} - \frac{27}{27} = \frac{64 - 96 + 36 - 27}{27} = \frac{100 - 123}{27} = -\frac{23}{27}$.
Вторая искомая точка: $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

Ответ: $(0, -1)$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.