Номер 37.18, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.18. Определите, является ли прямая $y = 12x - 10$ касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы прямая $y = kx + b$ была касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: $f'(x_0) = k$.
2. Значения функции и прямой в точке касания совпадают, то есть точка касания $(x_0, f(x_0))$ лежит на прямой: $f(x_0) = kx_0 + b$.

В данной задаче имеем функцию $f(x) = 4x^3$ и прямую $y = 12x - 10$. Угловой коэффициент прямой $k = 12$.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$.

Производная функции $f(x) = 4x^3$ находится по правилу дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.

Шаг 2: Найдем возможные абсциссы точки касания.

Используем первое условие касания. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой $k=12$:
$f'(x_0) = 12$
$12x_0^2 = 12$
$x_0^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Шаг 3: Проверим второе условие для каждого из найденных значений $x_0$.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие, то есть равенство $f(x_0) = 12x_0 - 10$.

Случай 1: $x_0 = 1$
Найдем значение функции в этой точке: $f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4$.
Найдем значение ординаты на прямой в этой точке: $y(1) = 12 \cdot 1 - 10 = 2$.
Сравниваем значения: $f(1) = 4$ и $y(1) = 2$. Так как $4 \neq 2$, второе условие не выполняется. Следовательно, в точке с абсциссой $x_0 = 1$ касания нет.

Случай 2: $x_0 = -1$
Найдем значение функции в этой точке: $f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 = -4$.
Найдем значение ординаты на прямой в этой точке: $y(-1) = 12 \cdot (-1) - 10 = -12 - 10 = -22$.
Сравниваем значения: $f(-1) = -4$ и $y(-1) = -22$. Так как $-4 \neq -22$, второе условие также не выполняется. Следовательно, в точке с абсциссой $x_0 = -1$ касания тоже нет.

Поскольку не существует точки, в которой одновременно выполнялись бы оба условия касания, данная прямая не является касательной к графику функции.

Ответ: Прямая $y = 12x - 10$ не является касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$.