Номер 37.22, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.22. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
2. Найти точки пересечения этой касательной с осями координат ($Ox$ и $Oy$).
3. Вычислить площадь треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 6x + 1$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

Сначала найдем значение функции в этой точке:
$f(x_0) = f(1) = 1^3 + 1^2 - 6(1) + 1 = 1 + 1 - 6 + 1 = -3$.
Точка касания имеет координаты $(1, -3)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + x^2 - 6x + 1)' = 3x^2 + 2x - 6$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной.
$f'(x_0) = f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 6 = 3 + 2 - 6 = -1$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=-3$ и $f'(x_0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-1)(x - 1)$
$y = -3 - x + 1$
$y = -x - 2$.
Это и есть уравнение искомой касательной.

2. Нахождение точек пересечения касательной с осями координат

Касательная $y = -x - 2$ образует треугольник с осями координат. Найдем точки, в которых она пересекает эти оси.

Пересечение с осью ординат ($Oy$): для этого подставим $x=0$ в уравнение касательной.
$y = -0 - 2 = -2$.
Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -2)$.

Пересечение с осью абсцисс ($Ox$): для этого подставим $y=0$ в уравнение касательной.
$0 = -x - 2$
$x = -2$.
Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координаты $(-2, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.
Длины катетов этого треугольника равны модулям координат точек пересечения (то есть длинам отрезков, которые касательная отсекает на осях координат).
Длина катета на оси $Ox$ равна $|-2| = 2$.
Длина катета на оси $Oy$ равна $|-2| = 2$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Ответ: $2$.