Номер 38.3, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7;$

3) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x};$

4) $f(x) = x + \frac{9}{x};$

5) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}.$

1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 12x^2 + 8x = 0$

$4x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$4x(x-1)(x-2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.

4. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка. Определим знак производной на каждом из них, подставляя любое значение из промежутка в $f'(x)$:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• На промежутке $(1, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 1]$ и $[2, +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, 2]$.

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - x^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

4. Определим знак производной на промежутках, на которые числовую прямую делят критические точки:

• На промежутке $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(1, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ знак производной не меняется, поэтому функция продолжает убывать через эту точку.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

3) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно уравнению $2x^3 - 2 = 0$, откуда $x^3 = 1$ и $x = 1$. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $2(x^3 - 1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$.

• На промежутке $(-\infty, 0)$, $x^3 - 1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 1)$, $x^3 - 1 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(1, +\infty)$, $x^3 - 1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, 1]$.

4) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = (x + 9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ равносильно $x^2 - 9 = 0$, откуда $x = \pm 3$. Производная не определена в точке разрыва $x=0$.

4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

• На промежутке $(-\infty, -3)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На промежутке $(-3, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(0, 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутке $(3, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$; убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$.

5) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$

1. Область определения функции: $3-x \neq 0$, то есть $x \neq 3$. $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$. Функцию можно переписать в виде $f(x) = \frac{(x-1)^2}{3-x}$.

2. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{( (x-1)^2 )' (3-x) - (x-1)^2 (3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{2(x-1)(1)(3-x) - (x-1)^2(-1)}{(3-x)^2}$

$f'(x) = \frac{(x-1) [2(3-x) + (x-1)]}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(6-2x+x-1)}{(3-x)^2} = \frac{(x-1)(5-x)}{(3-x)^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$. Это происходит, когда числитель равен нулю: $(x-1)(5-x)=0$. Критические точки: $x_1=1$, $x_2=5$. Точка $x=3$ — точка разрыва.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(3-x)^2$ всегда положителен в области определения. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $(x-1)(5-x)$. График этого выражения — парабола с ветвями, направленными вниз.

• На промежутке $(-\infty, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На промежутках $(1, 3)$ и $(3, 5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На промежутке $(5, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[1, 3)$ и $(3, 5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty]$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$

1. Область определения функции: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(x)'(x^2-9) - x(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-9) - x \cdot (2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{x^2-9-2x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2}$.

3. Найдем критические точки. Уравнение $f'(x)=0$ равносильно $-x^2-9=0$ или $x^2=-9$. Это уравнение не имеет действительных корней. Производная не определена в точках $x=\pm 3$, которые являются точками разрыва функции.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = -\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}$.

Числитель $x^2+9$ всегда положителен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Знак минус перед дробью делает всю производную отрицательной на всей области определения.

Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x$ из $D(f)$.

Ответ: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$.