Номер 37.21, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.21. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Для того чтобы найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо сначала составить уравнение этой касательной. Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^2 - 4$ и точка касания $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$k = f'(x_0) = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

4. Теперь подставим найденные значения $f(x_0)=0$, $f'(x_0)=-4$ и $x_0=-2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-4)(x - (-2))$

$y = -4(x + 2)$

$y = -4x - 8$.

Мы получили уравнение касательной. Теперь найдем точки, в которых эта прямая пересекает оси координат. Эти точки, вместе с началом координат, образуют искомый треугольник.

5. Найдем точку пересечения касательной с осью ординат (Oy). Для этого приравняем $x$ к нулю:

$y = -4 \cdot 0 - 8 = -8$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -8)$.

6. Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс (Ox). Для этого приравняем $y$ к нулю:

$0 = -4x - 8$

$4x = -8$

$x = -2$.

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-2, 0)$.

Треугольник, образованный осями координат и касательной, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, -8)$. Катеты этого треугольника лежат на осях координат, и их длины равны модулям ненулевых координат точек пересечения.

Длина катета на оси Ox равна $|-2| = 2$.

Длина катета на оси Oy равна $|-8| = 8$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8.