Вопрос, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте:

1) признак постоянства функции;

2) признак возрастания функции;

3) признак убывания функции.

1) признак постоянства функции

Признак постоянства функции (также известный как теорема о постоянстве функции) устанавливает достаточное условие, при котором функция сохраняет одно и то же значение на всем промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ равна нулю для всех $x$ из этого промежутка, то функция $f(x)$ является постоянной на промежутке $I$.

Иными словами, если для любого $x \in I$ выполняется равенство $f'(x) = 0$, то существует такое число $C$ (константа), что $f(x) = C$ для любого $x \in I$.

Этот признак является следствием теоремы Лагранжа о среднем значении.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция постоянна на данном промежутке.

2) признак возрастания функции

Признак возрастания функции — это достаточное условие, которое позволяет по знаку производной сделать вывод о том, что функция возрастает на промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из этого промежутка ($f'(x) > 0$), то функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $I$.

Строгое возрастание означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Примечание: Если на промежутке $I$ выполняется условие $f'(x) \ge 0$, то функция является неубывающей. Функция будет строго возрастать, если точки, в которых $f'(x) = 0$, не образуют сплошного интервала.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ положительна в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция строго возрастает на данном промежутке.

3) признак убывания функции

Признак убывания функции, аналогично признаку возрастания, является достаточным условием для установления факта убывания функции на промежутке.

Формулировка: Если функция $f(x)$ дифференцируема на некотором промежутке $I$ и ее производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из этого промежутка ($f'(x) < 0$), то функция $f(x)$ строго убывает на промежутке $I$.

Строгое убывание означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $I$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Примечание: Если на промежутке $I$ выполняется условие $f'(x) \le 0$, то функция является невозрастающей. Функция будет строго убывать, если точки, в которых $f'(x) = 0$, не образуют сплошного интервала.

Ответ: Если производная функции $f(x)$ отрицательна в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция строго убывает на данном промежутке.