Страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте теорему о производной:

1) суммы

Теорема о производной суммы утверждает, что если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в некоторой точке $x$, то их сумма $u(x) + v(x)$ также дифференцируема в этой точке. Производная суммы функций равна сумме их производных.

Ответ: $(u+v)' = u' + v'$

2) произведения

Теорема о производной произведения утверждает, что если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их произведение $u(x) \cdot v(x)$ также дифференцируемо в этой точке. Производная произведения вычисляется по формуле: производная первого множителя, умноженная на второй множитель, плюс первый множитель, умноженный на производную второго множителя.

Ответ: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$

3) частного

Теорема о производной частного утверждает, что если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$ и $v(x) \neq 0$ в этой точке, то их частное $\frac{u(x)}{v(x)}$ также дифференцируемо в этой точке. Его производная находится по формуле: (производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя), и всё это делённое на квадрат знаменателя.

Ответ: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

4) сложной функции

Теорема о производной сложной функции (цепное правило) гласит: если функция $u=g(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а функция $y=f(u)$ дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ дифференцируема в точке $x_0$. Её производная равна произведению производной внешней функции (по промежуточному аргументу) на производную внутренней функции (по основной переменной).

Ответ: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

36.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10;$

2) $y = 4x^6 + 20\sqrt{x};$

3) $y = x^8 + 7x^6 + \frac{4}{x} - 1;$

4) $y = 4\sin x - 5\cos x;$

5) $y = \operatorname{tg} x - 9x;$

6) $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}.$

1) Для нахождения производной функции $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10$ применим правила дифференцирования: производная суммы/разности равна сумме/разности производных, производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, и производная константы равна нулю.
$y' = (x^3 - 3x^2 + 6x - 10)' = (x^3)' - (3x^2)' + (6x)' - (10)'$
Применяя формулы для каждого слагаемого, получаем:
$y' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 3x^2 - 6x + 6$.
Ответ: $3x^2 - 6x + 6$.

2) Дана функция $y = 4x^6 + 20\sqrt{x}$. Для дифференцирования представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Тогда функция примет вид: $y = 4x^6 + 20x^{1/2}$.
Находим производную как сумму производных, используя правило для степенной функции:
$y' = (4x^6 + 20x^{1/2})' = (4x^6)' + (20x^{1/2})' = 4 \cdot 6x^{6-1} + 20 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 24x^5 + 10x^{-1/2}$.
Результат можно записать, вернувшись к обозначению с корнем, так как $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $y = x^8 + 7x^6 + \frac{4}{x} - 1$. Преобразуем слагаемое с дробью в степенной вид: $\frac{4}{x} = 4x^{-1}$.
Функция примет вид: $y = x^8 + 7x^6 + 4x^{-1} - 1$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
$y' = (x^8)' + (7x^6)' + (4x^{-1})' - (1)' = 8x^{8-1} + 7 \cdot 6x^{6-1} + 4 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = 8x^7 + 42x^5 - 4x^{-2}$.
Запишем слагаемое с отрицательной степенью в виде дроби, так как $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
$y' = 8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2}$.
Ответ: $8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2}$.

4) Дана функция $y = 4\sin x - 5\cos x$. Для ее дифференцирования используем известные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (4\sin x - 5\cos x)' = 4(\sin x)' - 5(\cos x)'$.
Подставляем значения производных:
$y' = 4(\cos x) - 5(-\sin x) = 4\cos x + 5\sin x$.
Ответ: $4\cos x + 5\sin x$.

5) Дана функция $y = \tg x - 9x$. Используем производную тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную линейной функции $(kx)' = k$.
$y' = (\tg x - 9x)' = (\tg x)' - (9x)'$.
Подставляя табличные значения производных, получаем:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} - 9$.

6) Дана функция $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}$. Здесь мы применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для отрицательных показателей степени.
$y' = (2x^{-2} + 3x^{-3})' = (2x^{-2})' + (3x^{-3})'$.
$y' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -4x^{-3} - 9x^{-4}$.
Этот результат можно также преобразовать к дробям: $y' = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.
Ответ: $-4x^{-3} - 9x^{-4}$.

36.2. Найдите производную функции:

1) $y = 2x^5 - x$;

2) $y = x^7 - 4\sqrt{x}$;

3) $y = -3\sin x + 2\cos x$;

4) $y = x - \frac{5}{x}$;

5) $y = 12 - \cot x$;

6) $y = 0.4x^{-5} + \sqrt{3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = 2x^5 - x$ используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.
Производная второго слагаемого: $(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1$.
Следовательно, производная всей функции: $y' = (2x^5 - x)' = (2x^5)' - (x)' = 10x^4 - 1$.
Ответ: $y' = 10x^4 - 1$.

2) Для функции $y = x^7 - 4\sqrt{x}$ сначала представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^7 - 4x^{1/2}$.
Применяем правило дифференцирования разности и формулу для степенной функции:
Производная первого слагаемого: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.
Производная второго слагаемого: $(4x^{1/2})' = 4 \cdot (x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Таким образом, производная функции: $y' = (x^7 - 4x^{1/2})' = (x^7)' - (4x^{1/2})' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

3) Для нахождения производной функции $y = -3\sin x + 2\cos x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная первого слагаемого: $(-3\sin x)' = -3 \cdot (\sin x)' = -3\cos x$.
Производная второго слагаемого: $(2\cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2(-\sin x) = -2\sin x$.
Складывая производные, получаем: $y' = (-3\sin x)' + (2\cos x)' = -3\cos x - 2\sin x$.
Ответ: $y' = -3\cos x - 2\sin x$.

4) Для функции $y = x - \frac{5}{x}$ представим второе слагаемое в виде степени: $y = x - 5x^{-1}$.
Используем правило дифференцирования разности $(u-v)'=u'-v'$:
Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.
Производная второго члена (без учета знака "минус"): $(5x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.
Тогда производная всей функции: $y' = (x)' - (5x^{-1})' = 1 - (-5x^{-2}) = 1 + 5x^{-2} = 1 + \frac{5}{x^2}$.
Ответ: $y' = 1 + \frac{5}{x^2}$.

5) Для функции $y = 12 - \text{ctg } x$ используем правило дифференцирования разности. Производная константы $(c)' = 0$ и производная котангенса $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Производная первого слагаемого (константы): $(12)' = 0$.
Производная второго слагаемого: $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Следовательно, производная функции: $y' = (12)' - (\text{ctg } x)' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$.

6) Для функции $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$ используем правило дифференцирования суммы.
Производная первого слагаемого находится по правилу для степенной функции: $(0,4x^{-5})' = 0,4 \cdot (-5)x^{-5-1} = -2x^{-6}$.
Второе слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, поэтому его производная равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0$.
Таким образом, производная всей функции: $y' = (0,4x^{-5})' + (\sqrt{3})' = -2x^{-6} + 0 = -2x^{-6}$.
Ответ: $y' = -2x^{-6}$.

36.3. Найдите производную функции:

1) $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5);$

2) $y = (3x + 5)(2x^2 - 1);$

3) $y = x^2 \sin x;$

4) $y = x \operatorname{ctg} x;$

5) $y = (2x + 1) \sqrt{x};$

6) $y = \sqrt{x} \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u(x) = x + 2$ и $v(x) = x^2 - 4x + 5$.
Найдём их производные:
$u'(x) = (x + 2)' = 1$
$v'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$

Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (x^2 - 4x + 5) + (x + 2)(2x - 4)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$y' = x^2 - 4x + 5 + (2x^2 - 4x + 4x - 8)$
$y' = x^2 - 4x + 5 + 2x^2 - 8$
$y' = 3x^2 - 4x - 3$

Ответ: $y' = 3x^2 - 4x - 3$.

2) Для функции $y = (3x + 5)(2x^2 - 1)$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = 2x^2 - 1$.
Их производные:
$u'(x) = (3x + 5)' = 3$
$v'(x) = (2x^2 - 1)' = 4x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = 3(2x^2 - 1) + (3x + 5)(4x)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y' = 6x^2 - 3 + 12x^2 + 20x$
$y' = 18x^2 + 20x - 3$

Ответ: $y' = 18x^2 + 20x - 3$.

3) Для функции $y = x^2 \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

Ответ: $y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$.

4) Для функции $y = x \operatorname{ctg} x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Производные этих функций:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Применяем правило производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

Упрощаем выражение:
$y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

5) Для функции $y = (2x + 1)\sqrt{x}$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u(x) = 2x + 1$ и $v(x) = \sqrt{x}$.
Найдём их производные:
$u'(x) = (2x + 1)' = 2$
$v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2 \cdot \sqrt{x} + (2x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приводим к общему знаменателю для упрощения:
$y' = \frac{2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}}$
$y' = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.

6) Для функции $y = \sqrt{x} \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \cos x$.
Их производные:
$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}\sin x \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos x - 2x \sin x}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{\cos x - 2x \sin x}{2\sqrt{x}}$.

36.4. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$;

3) $y = x^4 \cos x$;

4) $y = x \operatorname{tg} x$.

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$

Для нахождения производной функции, представленной в виде произведения двух множителей, применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^3 - 2$ и $v = x^2 + 1$.
Найдем производные каждого множителя:
$u' = (x^3 - 2)' = 3x^2$
$v' = (x^2 + 1)' = 2x$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$
Ответ: $5x^4 + 3x^2 - 4x$.

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x + 5$ и $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (x + 5)' = 1$
$v' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Подставим в формулу:
$y' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x+5}{2\sqrt{x}}$
Приведем к общему знаменателю:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x+5}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x+5}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+5}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{3x+5}{2\sqrt{x}}$.

3) $y = x^4 \cos x$

Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u = x^4$ и $v = \cos x$.
Найдем их производные:
$u' = (x^4)' = 4x^3$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = (4x^3)(\cos x) + (x^4)(-\sin x)$
Упрощаем выражение:
$y' = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x$
Ответ: $4x^3 \cos x - x^4 \sin x$.

4) $y = x \operatorname{tg} x$

Снова используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
В данном случае $u = x$ и $v = \operatorname{tg} x$.
Найдем производные:
$u' = (x)' = 1$
$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставим в формулу:
$y' = (1)(\operatorname{tg} x) + (x) \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)$
В результате получаем:
$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$
Ответ: $\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.

36.5. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{x - 1}{x + 1};$

2) $y = \frac{5}{3x - 2};$

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1};$

4) $y = \frac{x^3}{\cos x};$

5) $y = \frac{3 - x^2}{4 + 2x};$

6) $y = \frac{x^2 - 5x}{x - 7}.$

Для нахождения производной каждой из функций, представленных в виде частного двух функций $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, мы будем использовать правило дифференцирования частного:

$y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Дана функция $y = \frac{x-1}{x+1}$.

Обозначим $u = x-1$ и $v = x+1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x+1)' = 1$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

Дана функция $y = \frac{5}{3x-2}$.

Здесь $u = 5$ и $v = 3x-2$.

Находим их производные:

$u' = (5)' = 0$ (производная константы)

$v' = (3x-2)' = 3$

Применяем формулу производной частного:

$y' = \frac{0 \cdot (3x-2) - 5 \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{0 - 15}{(3x-2)^2} = -\frac{15}{(3x-2)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{15}{(3x-2)^2}$

Дана функция $y = \frac{x}{x^2-1}$.

Пусть $u = x$ и $v = x^2-1$.

Найдем производные:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (x^2-1)' = 2x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot (x^2-1) - x \cdot (2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

Дана функция $y = \frac{x^3}{\cos x}$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \cos x$.

Найдем производные:

$u' = (x^3)' = 3x^2$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{3x^2 \cdot \cos x - x^3 \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x}{\cos^2 x}$

Можно вынести общий множитель $x^2$ в числителе для упрощения вида:

$y' = \frac{x^2(3\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{x^2(3\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$

Дана функция $y = \frac{3-x^2}{4+2x}$.

Пусть $u = 3-x^2$ и $v = 4+2x$.

Найдем их производные:

$u' = (3-x^2)' = -2x$

$v' = (4+2x)' = 2$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{-2x(4+2x) - (3-x^2) \cdot 2}{(4+2x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{-8x - 4x^2 - 6 + 2x^2}{(4+2x)^2} = \frac{-2x^2 - 8x - 6}{(4+2x)^2}$

Вынесем общий множитель -2 в числителе и упростим знаменатель:

$y' = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{(2(2+x))^2} = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{4(x+2)^2} = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x+2)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{x^2+4x+3}{2(x+2)^2}$

Дана функция $y = \frac{x^2-5x}{x-7}$.

Пусть $u = x^2-5x$ и $v = x-7$.

Найдем их производные:

$u' = (x^2-5x)' = 2x-5$

$v' = (x-7)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(2x-5)(x-7) - (x^2-5x) \cdot 1}{(x-7)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{2x^2 - 14x - 5x + 35 - x^2 + 5x}{(x-7)^2}$

$y' = \frac{(2x^2 - x^2) + (-14x - 5x + 5x) + 35}{(x-7)^2} = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x-7)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x-7)^2}$

36.6. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3x+5}{x-8}$;

2) $y = \frac{7}{10x-3}$;

3) $y = \frac{2x^2}{1-6x}$;

4) $y = \frac{\sin x}{x}$;

5) $y = \frac{x^2-1}{x^2+1}$;

6) $y = \frac{x^2+6x}{x+2}$.

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, используется правило дифференцирования частного (или дроби):

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

где $u'$ и $v'$ — производные функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно.

1) $y = \frac{3x+5}{x-8}$

В данном случае, числитель $u(x) = 3x+5$ и знаменатель $v(x) = x-8$.

Найдём их производные:

$u' = (3x+5)' = 3$

$v' = (x-8)' = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3x+5)'(x-8) - (3x+5)(x-8)'}{(x-8)^2} = \frac{3(x-8) - (3x+5) \cdot 1}{(x-8)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x-8)^2} = \frac{-29}{(x-8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{29}{(x-8)^2}$

2) $y = \frac{7}{10x-3}$

Здесь $u(x) = 7$ (константа) и $v(x) = 10x-3$.

Найдём их производные:

$u' = (7)' = 0$ (производная константы равна нулю)

$v' = (10x-3)' = 10$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(7)'(10x-3) - 7(10x-3)'}{(10x-3)^2} = \frac{0 \cdot (10x-3) - 7 \cdot 10}{(10x-3)^2}$

Упрощаем:

$y' = \frac{-70}{(10x-3)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{70}{(10x-3)^2}$

3) $y = \frac{2x^2}{1-6x}$

В этой функции $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1-6x$.

Находим их производные:

$u' = (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$

$v' = (1-6x)' = -6$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x^2)'(1-6x) - (2x^2)(1-6x)'}{(1-6x)^2} = \frac{4x(1-6x) - 2x^2(-6)}{(1-6x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1-6x)^2} = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2}$

4) $y = \frac{\sin x}{x}$

Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.

Находим производные, используя таблицу производных:

$u' = (\sin x)' = \cos x$

$v' = (x)' = 1$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - (\sin x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{(\cos x) \cdot x - (\sin x) \cdot 1}{x^2}$

Запишем в стандартном виде:

$y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

5) $y = \frac{x^2-1}{x^2+1}$

В этой функции $u(x) = x^2-1$ и $v(x) = x^2+1$.

Находим их производные:

$u' = (x^2-1)' = 2x$

$v' = (x^2+1)' = 2x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

6) $y = \frac{x^2+6x}{x+2}$

Здесь $u(x) = x^2+6x$ и $v(x) = x+2$.

Находим их производные:

$u' = (x^2+6x)' = 2x+6$

$v' = (x+2)' = 1$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2+6x)'(x+2) - (x^2+6x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{(2x+6)(x+2) - (x^2+6x) \cdot 1}{(x+2)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(2x^2 + 4x + 6x + 12) - x^2 - 6x}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 10x + 12 - x^2 - 6x}{(x+2)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x+2)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2+4x+12}{(x+2)^2}$

36.7. Чему равно значение производной функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}, x_0 = -3;$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x, x_0 = 0;$

4) $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}, x_0 = 9;$

5) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}, x_0 = 1;$

6) $f(x) = x \sin x, x_0 = 0?$

1) Дана функция $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2$ и точка $x_0 = 2$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $f(x) = 8x^{-1} + 5x - 2$.

Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (8x^{-1} + 5x - 2)' = (8x^{-1})' + (5x)' - (2)' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} + 5 \cdot 1 - 0 = -8x^{-2} + 5 = -\frac{8}{x^2} + 5$.

Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$f'(2) = -\frac{8}{2^2} + 5 = -\frac{8}{4} + 5 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: 3.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}$ и точка $x_0 = -3$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2 - 3x$ и $v(x) = x + 2$. Тогда их производные равны $u'(x) = -3$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2 - 3x)'(x + 2) - (2 - 3x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2}$.

Подставим значение $x_0 = -3$ в производную:

$f'(-3) = \frac{-8}{(-3 + 2)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = \frac{-8}{1} = -8$.

Ответ: -8.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

Производная первого слагаемого $\frac{x^2 + 2}{x - 2}$ находится по правилу частного:

$(\frac{x^2 + 2}{x - 2})' = \frac{(x^2+2)'(x-2) - (x^2+2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2}$.

Производная второго слагаемого $(-2\sin x)' = -2\cos x$.

Таким образом, производная всей функции равна: $f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} - 2\cos x$.

Подставим значение $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{0^2 - 4(0) - 2}{(0 - 2)^2} - 2\cos(0) = \frac{-2}{(-2)^2} - 2 \cdot 1 = \frac{-2}{4} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$.

Ответ: -2,5.

4) Дана функция $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 1 + 3x$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда $u'(x) = 3$ и $v'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (1 + 3x)'\sqrt{x} + (1 + 3x)(\sqrt{x})' = 3\sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставим значение $x_0 = 9$ в производную:

$f'(9) = 3\sqrt{9} + (1 + 3 \cdot 9) \cdot \frac{1}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 + (1 + 27) \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} = 9 + 28 \cdot \frac{1}{6} = 9 + \frac{28}{6} = 9 + \frac{14}{3}$.

Приведем к общему знаменателю: $9 + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} + \frac{14}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $\frac{41}{3}$.

5) Дана функция $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию с использованием степеней: $f(x) = 3x^{1/3} - 10x^{1/5}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (3x^{1/3})' - (10x^{1/5})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} - 10 \cdot \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = x^{-2/3} - 2x^{-4/5}$.

Можно переписать производную в виде корней: $f'(x) = \frac{1}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^{4/5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x^4}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 1^{-2/3} - 2 \cdot 1^{-4/5} = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: -1.

6) Дана функция $f(x) = x \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \cos x$.

$f'(x) = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Подставим значение $x_0 = 0$ в производную:

$f'(0) = \sin(0) + 0 \cdot \cos(0) = 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Ответ: 0.