Номер 36.7, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.7. Чему равно значение производной функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}, x_0 = -3;$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x, x_0 = 0;$

4) $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}, x_0 = 9;$

5) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}, x_0 = 1;$

6) $f(x) = x \sin x, x_0 = 0?$

1) Дана функция $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2$ и точка $x_0 = 2$.

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Для удобства дифференцирования перепишем функцию в виде $f(x) = 8x^{-1} + 5x - 2$.

Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (8x^{-1} + 5x - 2)' = (8x^{-1})' + (5x)' - (2)' = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} + 5 \cdot 1 - 0 = -8x^{-2} + 5 = -\frac{8}{x^2} + 5$.

Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$f'(2) = -\frac{8}{2^2} + 5 = -\frac{8}{4} + 5 = -2 + 5 = 3$.

Ответ: 3.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}$ и точка $x_0 = -3$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2 - 3x$ и $v(x) = x + 2$. Тогда их производные равны $u'(x) = -3$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2 - 3x)'(x + 2) - (2 - 3x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2}$.

Подставим значение $x_0 = -3$ в производную:

$f'(-3) = \frac{-8}{(-3 + 2)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = \frac{-8}{1} = -8$.

Ответ: -8.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

Производная первого слагаемого $\frac{x^2 + 2}{x - 2}$ находится по правилу частного:

$(\frac{x^2 + 2}{x - 2})' = \frac{(x^2+2)'(x-2) - (x^2+2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x-2)^2}$.

Производная второго слагаемого $(-2\sin x)' = -2\cos x$.

Таким образом, производная всей функции равна: $f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} - 2\cos x$.

Подставим значение $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{0^2 - 4(0) - 2}{(0 - 2)^2} - 2\cos(0) = \frac{-2}{(-2)^2} - 2 \cdot 1 = \frac{-2}{4} - 2 = -0.5 - 2 = -2.5$.

Ответ: -2,5.

4) Дана функция $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 9$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 1 + 3x$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Тогда $u'(x) = 3$ и $v'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (1 + 3x)'\sqrt{x} + (1 + 3x)(\sqrt{x})' = 3\sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставим значение $x_0 = 9$ в производную:

$f'(9) = 3\sqrt{9} + (1 + 3 \cdot 9) \cdot \frac{1}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 + (1 + 27) \cdot \frac{1}{2 \cdot 3} = 9 + 28 \cdot \frac{1}{6} = 9 + \frac{28}{6} = 9 + \frac{14}{3}$.

Приведем к общему знаменателю: $9 + \frac{14}{3} = \frac{27}{3} + \frac{14}{3} = \frac{41}{3}$.

Ответ: $\frac{41}{3}$.

5) Дана функция $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию с использованием степеней: $f(x) = 3x^{1/3} - 10x^{1/5}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (3x^{1/3})' - (10x^{1/5})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} - 10 \cdot \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = x^{-2/3} - 2x^{-4/5}$.

Можно переписать производную в виде корней: $f'(x) = \frac{1}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^{4/5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x^4}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 1^{-2/3} - 2 \cdot 1^{-4/5} = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: -1.

6) Дана функция $f(x) = x \sin x$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \cos x$.

$f'(x) = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Подставим значение $x_0 = 0$ в производную:

$f'(0) = \sin(0) + 0 \cdot \cos(0) = 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Ответ: 0.