Номер 36.11, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.11. Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ проиллюстрируйте примерами.

Да, две различные функции могут иметь равные производные.

Теоретическое обоснование

Этот факт является прямым следствием того, что производная постоянной величины (константы) равна нулю. Если мы рассмотрим две функции $f(x)$ и $g(x)$, которые отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину $C$ (где $C \neq 0$), то они будут являться различными функциями. То есть, можно записать, что $g(x) = f(x) + C$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования суммы и тот факт, что производная константы равна нулю ($C' = 0$):

$g'(x) = (f(x) + C)' = f'(x) + C' = f'(x) + 0 = f'(x)$

Таким образом, производные функций $f(x)$ и $g(x)$ оказываются равными ($g'(x) = f'(x)$), в то время как сами функции различны. С геометрической точки зрения, график функции $g(x) = f(x) + C$ является копией графика $f(x)$, сдвинутой по вертикали на $C$ единиц. Вследствие этого, углы наклона касательных в точках с одинаковой абсциссой у этих двух графиков совпадают, что и означает равенство их производных.

Иллюстрация примерами

Пример 1. Степенные функции

Возьмем две разные функции: $f_1(x) = x^2 + 4x$ и $f_2(x) = x^2 + 4x - 15$.

Они очевидно различны, так как для любого значения $x$ их значения отличаются на 15.

Найдем их производные:

$f_1'(x) = (x^2 + 4x)' = 2x + 4$

$f_2'(x) = (x^2 + 4x - 15)' = (x^2)' + (4x)' - (15)' = 2x + 4 - 0 = 2x + 4$

Производные этих функций равны: $f_1'(x) = f_2'(x)$.

Пример 2. Тригонометрические функции

Рассмотрим функции $g_1(x) = \sin(x)$ и $g_2(x) = \sin(x) + 100$.

Эти функции также различны.

Найдем их производные:

$g_1'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$

$g_2'(x) = (\sin(x) + 100)' = (\sin(x))' + (100)' = \cos(x) + 0 = \cos(x)$

И в этом случае производные равны: $g_1'(x) = g_2'(x)$.

Ответ: да, могут. Любые две функции, отличающиеся на константу, например, $f(x)$ и $f(x) + C$ (где $C$ - любое ненулевое число), являются разными, но имеют одинаковую производную $f'(x)$.