Номер 36.8, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{1-x}, x_0 = 0$;

3) $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x+1}, x_0 = 1$.

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x} - 16x$ в точке $x_0 = \frac{1}{4}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции. Функцию $\sqrt{x}$ можно представить как $x^{1/2}$.
$f'(x) = (\sqrt{x})' - (16x)' = (x^{1/2})' - 16 = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 16 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 16 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:
$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = \frac{1}{1} - 16 = -15$.
Ответ: -15

2) Для функции $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$ в точке $x_0 = 0$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 1 - x$. Их производные: $u'(x) = -\sin x$ и $v'(x) = -1$.
$f'(x) = \frac{(\cos x)'(1-x) - (\cos x)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{(-\sin x)(1-x) - (\cos x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{-\sin x + x\sin x + \cos x}{(1-x)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-\sin(0) + 0 \cdot \sin(0) + \cos(0)}{(1-0)^2} = \frac{-0 + 0 + 1}{1^2} = 1$.
Ответ: 1

3) Для функции $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}$ в точке $x_0 = 2$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^{-2})' - (4x^{-3})' = -2x^{-2-1} - 4(-3)x^{-3-1} = -2x^{-3} + 12x^{-4}$.
Запишем производную в виде дробей для удобства вычислений: $f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{12}{x^4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для функции $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x+1}$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 2x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x+1$. Тогда их производные: $u'(x) = 4x - 3$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(4x-3)(x+1) - (2x^2 - 3x - 1)(1)}{(x+1)^2}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$f'(x) = \frac{4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(x+1)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2(1)^2 + 4(1) - 2}{(1+1)^2} = \frac{2+4-2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1