Номер 36.6, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.6. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3x+5}{x-8}$;

2) $y = \frac{7}{10x-3}$;

3) $y = \frac{2x^2}{1-6x}$;

4) $y = \frac{\sin x}{x}$;

5) $y = \frac{x^2-1}{x^2+1}$;

6) $y = \frac{x^2+6x}{x+2}$.

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, используется правило дифференцирования частного (или дроби):

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

где $u'$ и $v'$ — производные функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно.

1) $y = \frac{3x+5}{x-8}$

В данном случае, числитель $u(x) = 3x+5$ и знаменатель $v(x) = x-8$.

Найдём их производные:

$u' = (3x+5)' = 3$

$v' = (x-8)' = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3x+5)'(x-8) - (3x+5)(x-8)'}{(x-8)^2} = \frac{3(x-8) - (3x+5) \cdot 1}{(x-8)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x-8)^2} = \frac{-29}{(x-8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{29}{(x-8)^2}$

2) $y = \frac{7}{10x-3}$

Здесь $u(x) = 7$ (константа) и $v(x) = 10x-3$.

Найдём их производные:

$u' = (7)' = 0$ (производная константы равна нулю)

$v' = (10x-3)' = 10$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(7)'(10x-3) - 7(10x-3)'}{(10x-3)^2} = \frac{0 \cdot (10x-3) - 7 \cdot 10}{(10x-3)^2}$

Упрощаем:

$y' = \frac{-70}{(10x-3)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{70}{(10x-3)^2}$

3) $y = \frac{2x^2}{1-6x}$

В этой функции $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1-6x$.

Находим их производные:

$u' = (2x^2)' = 2 \cdot 2x = 4x$

$v' = (1-6x)' = -6$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x^2)'(1-6x) - (2x^2)(1-6x)'}{(1-6x)^2} = \frac{4x(1-6x) - 2x^2(-6)}{(1-6x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1-6x)^2} = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x - 12x^2}{(1-6x)^2}$

4) $y = \frac{\sin x}{x}$

Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.

Находим производные, используя таблицу производных:

$u' = (\sin x)' = \cos x$

$v' = (x)' = 1$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - (\sin x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{(\cos x) \cdot x - (\sin x) \cdot 1}{x^2}$

Запишем в стандартном виде:

$y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

5) $y = \frac{x^2-1}{x^2+1}$

В этой функции $u(x) = x^2-1$ и $v(x) = x^2+1$.

Находим их производные:

$u' = (x^2-1)' = 2x$

$v' = (x^2+1)' = 2x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2-1)'(x^2+1) - (x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

6) $y = \frac{x^2+6x}{x+2}$

Здесь $u(x) = x^2+6x$ и $v(x) = x+2$.

Находим их производные:

$u' = (x^2+6x)' = 2x+6$

$v' = (x+2)' = 1$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2+6x)'(x+2) - (x^2+6x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{(2x+6)(x+2) - (x^2+6x) \cdot 1}{(x+2)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(2x^2 + 4x + 6x + 12) - x^2 - 6x}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 10x + 12 - x^2 - 6x}{(x+2)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 4x + 12}{(x+2)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2+4x+12}{(x+2)^2}$