Номер 36.13, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.13. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 5)^6$;

2) $y = \sin \frac{x}{3}$;

3) $y = \cos^2 x$;

4) $y = 2\text{tg}\ 4x$;

5) $y = \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

6) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

7) $y = \sqrt[4]{6x + 8}$;

8) $y = (9x - 2)^{-3}$;

9) $y = \sqrt{\cos x}$.

1)

Дана функция $y = (3x - 5)^6$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^6$, а внутренняя — линейная $u = 3x - 5$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = ((3x - 5)^6)' = 6 \cdot (3x - 5)^{6-1} \cdot (3x - 5)'$

Находим производную внутренней функции: $(3x - 5)' = 3$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 6 \cdot (3x - 5)^5 \cdot 3 = 18(3x - 5)^5$

Ответ: $18(3x - 5)^5$

2)

Дана функция $y = \sin\frac{x}{3}$. Это сложная функция, где внешняя функция — тригонометрическая $\sin(u)$, а внутренняя — $u = \frac{x}{3}$.

Применяем цепное правило. Производная синуса $(\sin u)' = \cos u$.

$y' = (\sin\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})'$

Находим производную внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

Ответ: $\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

3)

Дана функция $y = \cos^2x$, которую можно записать как $y = (\cos x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^2$, а внутренняя — $u = \cos x$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((\cos x)^2)' = 2 \cdot (\cos x)^{2-1} \cdot (\cos x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, упрощаем выражение:

$y' = -\sin(2x)$

Ответ: $-\sin(2x)$

4)

Дана функция $y = 2\tg 4x$. Это сложная функция, умноженная на константу. Внешняя функция — $2\tg(u)$, внутренняя — $u = 4x$.

Применяем цепное правило и правило дифференцирования константы: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

$y' = (2\tg 4x)' = 2 \cdot (\tg 4x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot (4x)'$

Находим производную внутренней функции: $(4x)' = 4$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{8}{\cos^2(4x)}$

Ответ: $\frac{8}{\cos^2(4x)}$

5)

Дана функция $y = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$. Это сложная функция, где внешняя функция — $\cos(u)$, а внутренняя — $u = \frac{\pi}{4} - x$.

Применяем цепное правило. Производная косинуса $(\cos u)' = -\sin u$.

$y' = (\cos(\frac{\pi}{4} - x))' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (\frac{\pi}{4} - x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (-1) = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{4} - x)$

6)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$. Представим ее в виде $y = (1 - x^2)^{1/2}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/2}$, а внутренняя — $u = 1 - x^2$.

Применяем цепное правило. Производная корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$y' = (\sqrt{1 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)'$

Находим производную внутренней функции: $(1 - x^2)' = -2x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ: $-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

7)

Дана функция $y = \sqrt[4]{6x + 8}$. Представим ее в виде $y = (6x + 8)^{1/4}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/4}$, а внутренняя — $u = 6x + 8$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((6x + 8)^{1/4})' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (6x + 8)' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-3/4} \cdot (6x + 8)'$

Находим производную внутренней функции: $(6x + 8)' = 6$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-3/4} \cdot 6 = \frac{6}{4}(6x + 8)^{-3/4} = \frac{3}{2(6x+8)^{3/4}} = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}}$

Ответ: $\frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}}$

8)

Дана функция $y = (9x - 2)^{-3}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{-3}$, а внутренняя — $u = 9x - 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((9x - 2)^{-3})' = -3(9x - 2)^{-3-1} \cdot (9x - 2)' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot (9x - 2)'$

Находим производную внутренней функции: $(9x - 2)' = 9$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot 9 = -27(9x - 2)^{-4} = -\frac{27}{(9x - 2)^4}$

Ответ: $-\frac{27}{(9x - 2)^4}$

9)

Дана функция $y = \sqrt{\cos x}$. Представим ее в виде $y = (\cos x)^{1/2}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/2}$, а внутренняя — $u = \cos x$.

Применяем цепное правило. Производная корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$y' = (\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

Ответ: $-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$