Номер 36.19, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.19. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3};$

2) $y = x\sqrt{2x + 1};$

3) $y = \sin x \cos 2x;$

4) $y = \operatorname{tg} x \sin (2x + 5);$

5) $y = \frac{\cos 3x}{x - 1};$

6) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}};$

7) $y = (x + 1)^3(x - 2)^4;$

8) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}.$

1)

Исходная функция: $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степенных функций:

$y = x^{-9} - 3x^{-3}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом дифференцирования суммы/разности функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

$y' = (x^{-9})' - (3x^{-3})' = -9x^{-9-1} - 3(-3)x^{-3-1} = -9x^{-10} + 9x^{-4}$.

Вернемся к записи с дробями:

$y' = -\frac{9}{x^{10}} + \frac{9}{x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$.

2)

Исходная функция: $y = x\sqrt{2x + 1}$.

Это произведение двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2x+1}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$.

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции. $v(x) = (2x+1)^{1/2}$.

$v' = (\sqrt{2x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + x \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{(\sqrt{2x+1})^2 + x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

3)

Исходная функция: $y = \sin x \cos 2x$.

Для упрощения дифференцирования воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A-B) + \sin(A+B))$.

$y = \frac{1}{2}(\sin(x-2x) + \sin(x+2x)) = \frac{1}{2}(\sin(-x) + \sin(3x))$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$y = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$.

Теперь найдем производную:

$y' = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' - (\sin x)') = \frac{1}{2}(\cos(3x) \cdot (3x)' - \cos x) = \frac{1}{2}(3\cos(3x) - \cos x)$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\cos(3x) - \frac{1}{2}\cos x$.

4)

Исходная функция: $y = \operatorname{tg} x \sin(2x+5)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \operatorname{tg} x$ и $v = \sin(2x+5)$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$v' = (\sin(2x+5))' = \cos(2x+5) \cdot (2x+5)' = 2\cos(2x+5)$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin(2x+5) + \operatorname{tg} x \cdot 2\cos(2x+5) = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\operatorname{tg} x \cos(2x+5)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\operatorname{tg} x \cos(2x+5)$.

5)

Исходная функция: $y = \frac{\cos 3x}{x-1}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \cos 3x$ и $v = x-1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

$v' = (x-1)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{-3\sin(3x) \cdot (x-1) - \cos(3x) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)\sin(3x) - \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

Вынесем минус за скобку в числителе для более аккуратного вида:

$y' = -\frac{3(x-1)\sin(3x) + \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(x-1)\sin(3x) + \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

6)

Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{x}-1$ и $v = \sqrt{x}+1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x}-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$v' = (\sqrt{x}+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в числителе:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}((\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1))}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2}{(\sqrt{x}+1)^2}$.

Упрощаем:

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

7)

Исходная функция: $y = (x+1)^3(x-2)^4$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u=(x+1)^3$ и $v=(x-2)^4$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по правилу для сложной функции:

$u' = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^2 \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2$.

$v' = ((x-2)^4)' = 4(x-2)^3 \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$.

Вынесем общие множители $(x+1)^2$ и $(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3(x-2) + 4(x+1)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3x-6 + 4x+4] = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$.

Ответ: $y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$.

8)

Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u=\sqrt{x^2+1}$ и $v=x$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$v' = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot x - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{x^2+1}$:

$y' = \frac{\frac{x^2 - (\sqrt{x^2+1})^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{x^2 - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{x^2-x^2-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2}$.

Упрощаем:

$y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.