Номер 36.25, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.25. Вычислите:

1) $f'(0)$, если $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$;

2) $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$, если $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$. Чтобы найти значение производной $f'(0)$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, для нахождения производной которой воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования частного.
Пусть $u(x) = \frac{x-1}{2x-1}$. Тогда $f(x) = \sqrt{u(x)}$.
По цепному правилу, $f'(x) = (\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.
Найдем производную $u'(x)$ по правилу частного:
$u'(x) = \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)' = \frac{(x-1)'(2x-1) - (x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x-1-2x+2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Для удобства вычислений можно преобразовать первый множитель: $f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2x-1}{x-1}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Теперь подставим значение $x=0$ в полученное выражение для производной:
$f'(0) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \cdot 0 - 1}{0 - 1}} \cdot \frac{1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin^2\frac{x}{2}$. Для нахождения производной $f'(x)$ удобно сначала упростить исходную функцию, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Применим формулу:
$f(x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x$.
Теперь найдем производную от полученного выражения:
$f'(x) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x\right)' = (\frac{1}{2})' - (\frac{1}{2}\cos x)' = 0 - \frac{1}{2}(-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x$.
Осталось вычислить значение этой производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.