Номер 36.24, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.24. Найдите производную функции:

1) $y = \cos^3 2x,$

2) $y = \sqrt{\sin\left(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}\right)};$

3) $y = \left(\sin\frac{x}{3} - 5\right)^6.$

1) Данная функция $y = \cos^3 2x$ является сложной. Её можно представить как степенную функцию $u^3$, где основание $u = \cos 2x$ также является сложной функцией. Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) последовательно.

$y' = (\cos^3 2x)' = ((\cos 2x)^3)'$

Сначала берем производную от степенной функции (куба), умножая на производную ее основания:

$y' = 3(\cos 2x)^{3-1} \cdot (\cos 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)'$

Теперь находим производную от $\cos 2x$, снова применяя цепное правило:

$(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x$

Подставляем найденное выражение обратно:

$y' = 3\cos^2 2x \cdot (-2\sin 2x) = -6\sin 2x \cos^2 2x$

Ответ: $y' = -6\sin 2x \cos^2 2x$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}$. Это сложная функция, которую можно представить в виде $y = \sqrt{u}$, где $u = \sin(v)$, а $v = \frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}$. Найдем производную, используя цепное правило.

$y' = \left(\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}\right)'$

Производная квадратного корня это $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, умноженная на производную подкоренного выражения:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}} \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)'$

Далее, находим производную синуса, умножая на производную его аргумента:

$\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)'$

Производная аргумента:

$\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)' = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

Собираем все части вместе:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}} \cdot \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{5}$

Упрощая, получаем окончательный вид:

$y' = \frac{\cos(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}}$

Ответ: $y' = \frac{\cos(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}}$.

3) Дана функция $y = \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$. Это сложная функция вида $y=u^6$, где $u = \sin\frac{x}{3}-5$. Применяем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = \left(\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6\right)'$

Берем производную от степенной функции (шестой степени), умножая на производную основания:

$y' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^{6-1} \cdot \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 \cdot \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)'$

Находим производную основания, используя правило производной разности:

$\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)' = \left(\sin\frac{x}{3}\right)' - (5)'$

Производная константы $(5)' = 0$. Для нахождения производной $\left(\sin\frac{x}{3}\right)'$ снова используем цепное правило:

$\left(\sin\frac{x}{3}\right)' = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}$

Подставляем все в исходное выражение для $y'$:

$y' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}\right)$

Упрощаем, перемножая числовые коэффициенты:

$y' = \frac{6}{3}\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 = 2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5$

Ответ: $y' = 2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5$.