Номер 36.20, страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.20. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2} - \frac{5}{x^6}$;

2) $y = x\sqrt{x+3}$;

3) $y = \sin 2x \cos x$;

4) $y = (x+2)^5(x-3)^4$.

1) Дана функция $y = \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2} - \frac{5}{x^6}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$y = x^{-1} + 6x^{-2} - 5x^{-6}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$. Дифференцируем каждое слагаемое:

$y' = (x^{-1})' + (6x^{-2})' - (5x^{-6})' = (-1) \cdot x^{-1-1} + 6 \cdot (-2)x^{-2-1} - 5 \cdot (-6)x^{-6-1}$

Выполняем вычисления:

$y' = -x^{-2} - 12x^{-3} + 30x^{-7}$

Запишем результат, вернувшись к представлению в виде дробей:

$y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{30}{x^8}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{30}{x^8}$.

2) Дана функция $y = x\sqrt{x+3}$.

Эта функция представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x+3}$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x) = \sqrt{x+3} = (x+3)^{1/2}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Производная внешней степенной функции $(\sqrt{t})' = \frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(x+3)' = 1$.

$v'(x) = ((x+3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{\sqrt{x+3} \cdot 2\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2(x+3) + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2x+6+x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$.

3) Дана функция $y = \sin 2x \cos x$.

Для упрощения дифференцирования преобразуем исходное выражение, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

$y = \frac{1}{2}(\sin(2x+x) + \sin(2x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)$.

Теперь найти производную гораздо проще. Используем правило дифференцирования суммы и производные тригонометрических функций $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$ и $(\sin x)' = \cos x$.

$y' = \left(\frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)\right)' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' + (\sin x)')$.

$y' = \frac{1}{2}(3\cos(3x) + \cos x)$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2}(3\cos 3x + \cos x)$.

4) Дана функция $y = (x+2)^5(x-3)^4$.

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = (x+2)^5$ и $v(x) = (x-3)^4$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$u'(x) = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^{5-1} \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4 \cdot 1 = 5(x+2)^4$.

$v'(x) = ((x-3)^4)' = 4(x-3)^{4-1} \cdot (x-3)' = 4(x-3)^3 \cdot 1 = 4(x-3)^3$.

Подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x+2)^4(x-3)^4 + (x+2)^5 \cdot 4(x-3)^3$.

Для упрощения вынесем за скобки общие множители $(x+2)^4$ и $(x-3)^3$.

$y' = (x+2)^4(x-3)^3 [5(x-3) + 4(x+2)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$5(x-3) + 4(x+2) = 5x - 15 + 4x + 8 = 9x - 7$.

Таким образом, окончательное выражение для производной:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$.

Ответ: $y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x-7)$.