Номер 36.14, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.14. Ученик предлагает находить производную функции $y = \sin 2x$ так:

1) делает замену $2x = t$ и получает функцию $y = \sin t$;

2) далее пишет: $y' = (\sin t)' = \cos t$;

3) потом подставляет значение $2x = t$ и делает вывод, что $(\sin 2x)' = \cos 2x$.

В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в неправильном применении правила дифференцирования сложной функции. Функция $y = \sin(2x)$ является сложной (или композитной), так как состоит из внешней функции $f(t) = \sin(t)$ и внутренней функции $g(x) = 2x$, где $t = g(x)$.

Для нахождения производной сложной функции $y = f(g(x))$ необходимо использовать правило цепочки (chain rule), которое гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции (по её аргументу) на производную внутренней функции (по независимой переменной). Формула выглядит так:$y' = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

В данном случае, производная внешней функции $f'(t) = (\sin t)' = \cos t$. Производная внутренней функции $g'(x) = (2x)' = 2$.

Ученик правильно нашел производную внешней функции, получив $\cos(t)$, и после обратной подстановки $t=2x$ получил $\cos(2x)$. Однако он совершил ошибку, пропустив второй шаг — умножение на производную внутренней функции $g'(x)$, которая равна $2$.

Правильное нахождение производной должно выглядеть следующим образом:

$y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

Таким образом, ученик фактически нашел производную $\frac{dy}{dt}$, а не $\frac{dy}{dx}$. Правильное соотношение по правилу цепочки: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$. Ученик пропустил множитель $\frac{dt}{dx} = 2$.

Ответ: Ошибка ученика состоит в том, что при нахождении производной сложной функции $y = \sin(2x)$ он не применил правило цепочки в полном объеме. Он нашел производную только от внешней функции ($\sin$), но забыл умножить результат на производную от внутренней функции ($2x$), которая равна $2$. Правильная производная равна $2\cos(2x)$, а не $\cos(2x)$.