Номер 36.12, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.12. Найдите производную функции:

1) $y = (2x + 3)^5$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}x - 6\right)^{18}$;

3) $y = \cos 2x$;

4) $y = \sin^2 x$;

5) $y = 3\cot \frac{x}{5}$;

6) $y = \sqrt{2x + 1}$;

7) $y = \sqrt[3]{1 - x}$;

8) $y = \sqrt{x^2 + 1}$;

9) $y = \frac{1}{4x + 5}$;

10) $y = \left(\frac{x^2}{2} + 4x - 1\right)^{-6}$;

11) $y = \sqrt{\sin x}$;

12) $y = \sin \sqrt{x}$;

1) Для нахождения производной функции $y = (2x + 3)^5$ применяется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть внешняя функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция $u(x) = 2x + 3$. Тогда производная находится по формуле $y' = (f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$.
$y' = 5(2x + 3)^{5-1} \cdot (2x + 3)'$
Находим производную внутренней функции: $(2x + 3)' = 2$.
Подставляем и получаем: $y' = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$.
Ответ: $y' = 10(2x + 3)^4$.

2) Для функции $y = (\frac{1}{3}x - 6)^{18}$ также используем цепное правило.
$y' = 18(\frac{1}{3}x - 6)^{18-1} \cdot (\frac{1}{3}x - 6)'$
Производная внутренней функции $(\frac{1}{3}x - 6)' = \frac{1}{3}$.
$y' = 18(\frac{1}{3}x - 6)^{17} \cdot \frac{1}{3} = 6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.
Ответ: $y' = 6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.

3) Для функции $y = \cos(2x)$ используем цепное правило и производную косинуса.
$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)'$
Производная внутренней функции $(2x)' = 2$.
$y' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.
Ответ: $y' = -2\sin(2x)$.

4) Функцию $y = \sin^2 x$ можно записать как $y = (\sin x)^2$. Применяем цепное правило.
$y' = ((\sin x)^2)' = 2(\sin x)^{2-1} \cdot (\sin x)'$
Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.
$y' = 2\sin x \cdot \cos x$.
Используя формулу двойного угла, ответ можно также записать как $y' = \sin(2x)$.
Ответ: $y' = 2\sin x \cos x$ (или $y' = \sin(2x)$).

5) Для функции $y = 3\ctg \frac{x}{5}$ (или $y = 3\cot \frac{x}{5}$) используем цепное правило и производную котангенса.
Производная котангенса $(\cot u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.
$y' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot (\frac{x}{5})'$
Производная внутренней функции $(\frac{x}{5})' = \frac{1}{5}$.
$y' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.

6) Для функции $y = \sqrt{2x + 1}$ представим корень как степень $y = (2x + 1)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot (2x + 1)'$
Производная внутренней функции $(2x + 1)' = 2$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$.

7) Для функции $y = \sqrt[3]{1 - x}$ представим корень как степень $y = (1 - x)^{1/3}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{3}(1 - x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (1 - x)' = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3} \cdot (1 - x)'$
Производная внутренней функции $(1 - x)' = -1$.
$y' = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3(1-x)^{2/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.

8) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 1}$ представим корень как степень $y = (x^2 + 1)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2 + 1)'$
Производная внутренней функции $(x^2 + 1)' = 2x$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

9) Функцию $y = \frac{1}{4x + 5}$ запишем в виде степени $y = (4x + 5)^{-1}$ и применим цепное правило.
$y' = -1(4x + 5)^{-1-1} \cdot (4x + 5)' = -1(4x + 5)^{-2} \cdot (4x + 5)'$
Производная внутренней функции $(4x + 5)' = 4$.
$y' = -1(4x + 5)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 5)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{(4x + 5)^2}$.

10) Для функции $y = (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6}$ применяем цепное правило.
$y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6-1} \cdot (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)'$
Производная внутренней функции $(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)' = \frac{2x}{2} + 4 = x + 4$.
$y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-7} \cdot (x + 4) = -\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.
Ответ: $y' = -\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.

11) Для функции $y = \sqrt{\sin x}$ представим корень как степень $y = (\sin x)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(\sin x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot (\sin x)'$
Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.

12) Для функции $y = \sin \sqrt{x}$ используем цепное правило.
$y' = (\sin \sqrt{x})' = \cos(\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x})'$
Производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.