Номер 36.5, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.5. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{x - 1}{x + 1};$

2) $y = \frac{5}{3x - 2};$

3) $y = \frac{x}{x^2 - 1};$

4) $y = \frac{x^3}{\cos x};$

5) $y = \frac{3 - x^2}{4 + 2x};$

6) $y = \frac{x^2 - 5x}{x - 7}.$

Для нахождения производной каждой из функций, представленных в виде частного двух функций $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, мы будем использовать правило дифференцирования частного:

$y' = (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Дана функция $y = \frac{x-1}{x+1}$.

Обозначим $u = x-1$ и $v = x+1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x+1)' = 1$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

Дана функция $y = \frac{5}{3x-2}$.

Здесь $u = 5$ и $v = 3x-2$.

Находим их производные:

$u' = (5)' = 0$ (производная константы)

$v' = (3x-2)' = 3$

Применяем формулу производной частного:

$y' = \frac{0 \cdot (3x-2) - 5 \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{0 - 15}{(3x-2)^2} = -\frac{15}{(3x-2)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{15}{(3x-2)^2}$

Дана функция $y = \frac{x}{x^2-1}$.

Пусть $u = x$ и $v = x^2-1$.

Найдем производные:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (x^2-1)' = 2x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot (x^2-1) - x \cdot (2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

Дана функция $y = \frac{x^3}{\cos x}$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \cos x$.

Найдем производные:

$u' = (x^3)' = 3x^2$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{3x^2 \cdot \cos x - x^3 \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{3x^2\cos x + x^3\sin x}{\cos^2 x}$

Можно вынести общий множитель $x^2$ в числителе для упрощения вида:

$y' = \frac{x^2(3\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{x^2(3\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$

Дана функция $y = \frac{3-x^2}{4+2x}$.

Пусть $u = 3-x^2$ и $v = 4+2x$.

Найдем их производные:

$u' = (3-x^2)' = -2x$

$v' = (4+2x)' = 2$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{-2x(4+2x) - (3-x^2) \cdot 2}{(4+2x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{-8x - 4x^2 - 6 + 2x^2}{(4+2x)^2} = \frac{-2x^2 - 8x - 6}{(4+2x)^2}$

Вынесем общий множитель -2 в числителе и упростим знаменатель:

$y' = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{(2(2+x))^2} = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{4(x+2)^2} = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x+2)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{x^2+4x+3}{2(x+2)^2}$

Дана функция $y = \frac{x^2-5x}{x-7}$.

Пусть $u = x^2-5x$ и $v = x-7$.

Найдем их производные:

$u' = (x^2-5x)' = 2x-5$

$v' = (x-7)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(2x-5)(x-7) - (x^2-5x) \cdot 1}{(x-7)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{2x^2 - 14x - 5x + 35 - x^2 + 5x}{(x-7)^2}$

$y' = \frac{(2x^2 - x^2) + (-14x - 5x + 5x) + 35}{(x-7)^2} = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x-7)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x-7)^2}$