Номер 36.2, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.2. Найдите производную функции:

1) $y = 2x^5 - x$;

2) $y = x^7 - 4\sqrt{x}$;

3) $y = -3\sin x + 2\cos x$;

4) $y = x - \frac{5}{x}$;

5) $y = 12 - \cot x$;

6) $y = 0.4x^{-5} + \sqrt{3}$.

1) Для нахождения производной функции $y = 2x^5 - x$ используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$, правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
Производная первого слагаемого: $(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.
Производная второго слагаемого: $(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1$.
Следовательно, производная всей функции: $y' = (2x^5 - x)' = (2x^5)' - (x)' = 10x^4 - 1$.
Ответ: $y' = 10x^4 - 1$.

2) Для функции $y = x^7 - 4\sqrt{x}$ сначала представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^7 - 4x^{1/2}$.
Применяем правило дифференцирования разности и формулу для степенной функции:
Производная первого слагаемого: $(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.
Производная второго слагаемого: $(4x^{1/2})' = 4 \cdot (x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Таким образом, производная функции: $y' = (x^7 - 4x^{1/2})' = (x^7)' - (4x^{1/2})' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

3) Для нахождения производной функции $y = -3\sin x + 2\cos x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная первого слагаемого: $(-3\sin x)' = -3 \cdot (\sin x)' = -3\cos x$.
Производная второго слагаемого: $(2\cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2(-\sin x) = -2\sin x$.
Складывая производные, получаем: $y' = (-3\sin x)' + (2\cos x)' = -3\cos x - 2\sin x$.
Ответ: $y' = -3\cos x - 2\sin x$.

4) Для функции $y = x - \frac{5}{x}$ представим второе слагаемое в виде степени: $y = x - 5x^{-1}$.
Используем правило дифференцирования разности $(u-v)'=u'-v'$:
Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.
Производная второго члена (без учета знака "минус"): $(5x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.
Тогда производная всей функции: $y' = (x)' - (5x^{-1})' = 1 - (-5x^{-2}) = 1 + 5x^{-2} = 1 + \frac{5}{x^2}$.
Ответ: $y' = 1 + \frac{5}{x^2}$.

5) Для функции $y = 12 - \text{ctg } x$ используем правило дифференцирования разности. Производная константы $(c)' = 0$ и производная котангенса $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Производная первого слагаемого (константы): $(12)' = 0$.
Производная второго слагаемого: $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Следовательно, производная функции: $y' = (12)' - (\text{ctg } x)' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$.

6) Для функции $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$ используем правило дифференцирования суммы.
Производная первого слагаемого находится по правилу для степенной функции: $(0,4x^{-5})' = 0,4 \cdot (-5)x^{-5-1} = -2x^{-6}$.
Второе слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, поэтому его производная равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0$.
Таким образом, производная всей функции: $y' = (0,4x^{-5})' + (\sqrt{3})' = -2x^{-6} + 0 = -2x^{-6}$.
Ответ: $y' = -2x^{-6}$.