Номер 35.23, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.23. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^4, k = -32;$

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}, k = \frac{1}{27};$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, k = -\frac{1}{27};$

4) $f(x) = \cos x, k = 1.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Чтобы найти $x_0$, необходимо для каждой функции найти её производную $f'(x)$, приравнять её к заданному значению $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) $f(x) = x^4$, $k = -32$

Сначала находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.

Теперь приравниваем производную к значению $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = 4x_0^3 = -32$.

Решаем уравнение для $x_0$:

$x_0^3 = \frac{-32}{4}$

$x_0^3 = -8$

$x_0 = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: $x_0 = -2$.

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $k = \frac{1}{27}$

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/3}$. Находим её производную:

$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}} = \frac{1}{27}$.

Решаем уравнение:

$3\sqrt[3]{x_0^2} = 27$

$\sqrt[3]{x_0^2} = 9$

Возводим обе части в куб:

$x_0^2 = 9^3 = 729$

Извлекаем квадратный корень:

$x_0 = \pm\sqrt{729} = \pm 27$.

Ответ: $x_0 = 27$ или $x_0 = -27$.

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $k = -\frac{1}{27}$

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$. Находим производную:

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = -\frac{3}{x_0^4} = -\frac{1}{27}$.

Решаем уравнение:

$\frac{3}{x_0^4} = \frac{1}{27}$

$x_0^4 = 3 \cdot 27 = 81$

Извлекаем корень четвертой степени:

$x_0 = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$.

Ответ: $x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.

4) $f(x) = \cos x$, $k = 1$

Находим производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = -\sin x_0 = 1$.

Решаем тригонометрическое уравнение:

$\sin x_0 = -1$.

Общее решение этого уравнения:

$x_0 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: $x_0 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.