Страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.22. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3, k = 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x}, k = \frac{1}{4};$

3) $f(x) = \frac{1}{x^2}, k = -\frac{1}{4};$

4) $f(x) = \sin x, k = 0.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$. Чтобы найти $x_0$, необходимо найти производную функции $f'(x)$, приравнять ее к заданному угловому коэффициенту $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = 3$.
Находим производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$3x_0^2 = 3$
$x_0^2 = 1$
$x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.
Ответ: $1; -1$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Производная определена для $x > 0$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{4}$
$2\sqrt{x_0} = 4$
$\sqrt{x_0} = 2$
$x_0 = 4$.
Ответ: $4$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$-\frac{2}{x_0^3} = -\frac{1}{4}$
$\frac{2}{x_0^3} = \frac{1}{4}$
$x_0^3 = 2 \cdot 4$
$x_0^3 = 8$
$x_0 = 2$.
Ответ: $2$.

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и угловой коэффициент $k = 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$\cos x_0 = 0$
Решениями данного тригонометрического уравнения являются:
$x_0 = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

35.23. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^4, k = -32;$

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}, k = \frac{1}{27};$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, k = -\frac{1}{27};$

4) $f(x) = \cos x, k = 1.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Чтобы найти $x_0$, необходимо для каждой функции найти её производную $f'(x)$, приравнять её к заданному значению $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) $f(x) = x^4$, $k = -32$

Сначала находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.

Теперь приравниваем производную к значению $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = 4x_0^3 = -32$.

Решаем уравнение для $x_0$:

$x_0^3 = \frac{-32}{4}$

$x_0^3 = -8$

$x_0 = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Ответ: $x_0 = -2$.

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $k = \frac{1}{27}$

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/3}$. Находим её производную:

$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}} = \frac{1}{27}$.

Решаем уравнение:

$3\sqrt[3]{x_0^2} = 27$

$\sqrt[3]{x_0^2} = 9$

Возводим обе части в куб:

$x_0^2 = 9^3 = 729$

Извлекаем квадратный корень:

$x_0 = \pm\sqrt{729} = \pm 27$.

Ответ: $x_0 = 27$ или $x_0 = -27$.

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $k = -\frac{1}{27}$

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$. Находим производную:

$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = -\frac{3}{x_0^4} = -\frac{1}{27}$.

Решаем уравнение:

$\frac{3}{x_0^4} = \frac{1}{27}$

$x_0^4 = 3 \cdot 27 = 81$

Извлекаем корень четвертой степени:

$x_0 = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$.

Ответ: $x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.

4) $f(x) = \cos x$, $k = 1$

Находим производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Приравниваем производную к $k$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = -\sin x_0 = 1$.

Решаем тригонометрическое уравнение:

$\sin x_0 = -1$.

Общее решение этого уравнения:

$x_0 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

Ответ: $x_0 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

35.24. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^2$. Найдите $s'\left(\frac{1}{2}\right)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(1/2)

Задан закон движения материальной точки по координатной прямой: $s(t) = t^2$.

Для того чтобы найти $s'(\frac{1}{2})$, необходимо сначала вычислить производную функции $s(t)$ по переменной $t$. Производная пути по времени является мгновенной скоростью.

$s'(t) = (t^2)'$

По формуле производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ получаем:

$s'(t) = 2 \cdot t^{2-1} = 2t$

Теперь мы можем найти значение производной в точке $t = \frac{1}{2}$, подставив это значение в полученное выражение для $s'(t)$:

$s'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $s'\left(\frac{1}{2}\right) = 1$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

В механике производная от функции, описывающей путь $s(t)$, по времени $t$ определяет мгновенную скорость $v(t)$ движущейся точки в момент времени $t$. То есть, $v(t) = s'(t)$.

Следовательно, найденная величина $s'\left(\frac{1}{2}\right)$ — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t = \frac{1}{2}$.

Ответ: Найденная величина представляет собой мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t = \frac{1}{2}$.

35.25. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^3$. Найдите $s'(2)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(2)

Задан закон движения материальной точки по координатной прямой: $s(t) = t^3$.

Чтобы найти $s'(2)$, необходимо сначала найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$. Производная функции пути по времени есть мгновенная скорость $v(t)$.

Для нахождения производной от степенной функции $t^3$ воспользуемся формулой $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$s'(t) = (t^3)' = 3 \cdot t^{3-1} = 3t^2$

Теперь, чтобы найти значение производной в точке $t=2$, подставим это значение в полученное выражение для $s'(t)$:

$s'(2) = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $s'(2) = 12$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

Механический смысл производной от функции, описывающей координату (путь) тела $s(t)$ по времени $t$, заключается в том, что она представляет собой мгновенную скорость тела $v(t)$ в момент времени $t$. Таким образом, $v(t) = s'(t)$.

Следовательно, найденное значение $s'(2)=12$ — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$. Если, например, расстояние $s$ измеряется в метрах, а время $t$ в секундах, то в момент времени $t=2$ с скорость точки составит 12 м/с.

Ответ: Найденная величина $s'(2)=12$ — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$.

35.26. Упростите выражение $\left(\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2}\right)\left(\frac{a-9}{a+3}\right)^2 + \frac{7+a}{9+a}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия в соответствии с порядком их выполнения.

Исходное выражение:

$\left( \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} \right) \left( \frac{a-9}{a+3} \right)^2 + \frac{7+a}{9+a}$

1. Первым действием выполним сложение дробей в скобках. Для этого найдем общий знаменатель, который равен $(a-9)^2(a+9)$.

$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} = \frac{(a+5)(a-9)}{(a-9)^2(a+9)} + \frac{(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Теперь сложим числители этих дробей:

$\frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a+5)(a-9) = a^2 - 9a + 5a - 45 = a^2 - 4a - 45$

$(a+7)(a+9) = a^2 + 9a + 7a + 63 = a^2 + 16a + 63$

Сложим полученные выражения в числителе:

$(a^2 - 4a - 45) + (a^2 + 16a + 63) = 2a^2 + 12a + 18$

Вынесем общий множитель 2 и свернем полученный трехчлен по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$2a^2 + 12a + 18 = 2(a^2 + 6a + 9) = 2(a+3)^2$

Результат первого действия:

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}$

2. Вторым действием умножим результат, полученный в первом действии, на второй множитель.

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \left( \frac{a-9}{a+3} \right)^2 = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2}$

Сократим одинаковые множители $(a+3)^2$ и $(a-9)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{(a+3)^2}}{\cancel{(a-9)^2}(a+9)} \cdot \frac{\cancel{(a-9)^2}}{\cancel{(a+3)^2}} = \frac{2}{a+9}$

3. Третьим действием выполним сложение результата второго действия с последней дробью в выражении.

$\frac{2}{a+9} + \frac{7+a}{9+a}$

Поскольку $a+9 = 9+a$, дроби имеют одинаковый знаменатель. Сложим их числители:

$\frac{2 + (7+a)}{a+9} = \frac{9+a}{a+9} = 1$

Данное равенство справедливо для всех допустимых значений переменной $a$, при которых знаменатели исходного выражения не обращаются в ноль, то есть при $a \neq 9$, $a \neq -9$ и $a \neq -3$.

Ответ: 1

35.27. Решите уравнение

$\frac{5}{x^2 - 4x + 4} - \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2} = 0.$

Для решения данного уравнения сначала преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители.

1. Анализ знаменателей:

• Знаменатель первой дроби, $x^2 - 4x + 4$, является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$.
• Знаменатель второй дроби, $x^2 - 4$, является разностью квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
• Третий знаменатель, $x + 2$, является простым выражением.

После подстановки разложенных знаменателей уравнение принимает вид: $$ \frac{5}{(x - 2)^2} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x + 2} = 0 $$

2. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

• $(x - 2)^2 \ne 0 \implies x \ne 2$
• $(x - 2)(x + 2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$
• $x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

3. Приведение к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $(x - 2)^2(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей (при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ): $$ 5(x + 2) - 4(x - 2) - 1(x - 2)^2 = 0 $$

4. Решение полученного уравнения. Раскроем скобки: $$ 5x + 10 - 4(x - 2) - (x^2 - 4x + 4) = 0 $$ $$ 5x + 10 - 4x + 8 - x^2 + 4x - 4 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые: $$ -x^2 + (5x - 4x + 4x) + (10 + 8 - 4) = 0 $$ $$ -x^2 + 5x + 14 = 0 $$ Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$

5. Нахождение корней квадратного уравнения. Решим уравнение с помощью теоремы Виета: $ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -14 \end{cases} $ Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

6. Проверка корней на соответствие ОДЗ. Мы установили, что ОДЗ: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

• Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \ne 2$ и $7 \ne -2$.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень, так как при $x = -2$ знаменатели второй и третьей дробей исходного уравнения обращаются в ноль.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 7