Страница 259 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.12. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^3, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^2}, x_0 = 2;$

4) $f(x) = \sin x, x_0 = 0.$

Угловой коэффициент касательной (обозначим его $k$), проведённой к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для нахождения углового коэффициента: $k = f'(x_0)$.

1) $f(x) = x^3, x_0 = -1$

Сначала найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
Теперь подставим значение $x_0 = -1$ в найденную производную, чтобы найти угловой коэффициент $k$:
$k = f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

2) $f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4$

Найдём производную функции. Удобнее представить функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/2}$.
$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Подставим значение $x_0 = 4$ в производную:
$k = f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) $f(x) = \frac{1}{x^2}, x_0 = 2$

Найдём производную функции. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-2}$.
$f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Подставим значение $x_0 = 2$ в производную:
$k = f'(2) = -\frac{2}{2^3} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$

4) $f(x) = \sin x, x_0 = 0$

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставим значение $x_0 = 0$ в производную:
$k = f'(0) = \cos(0) = 1$.
Ответ: 1

35.13. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^4, x_0 = -2;$

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}, x_0 = 27;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, x_0 = -3;$

4) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ — это тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти угловой коэффициент $k$, нужно найти производную функции и вычислить её значение в точке $x_0$: $k = f'(x_0)$.

1) $f(x) = x^4$, $x_0 = -2$
Сначала найдём производную функции $f(x)$. Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$k = f'(-2) = 4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32$.
Ответ: -32

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 27$
Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/3}$.
Найдём производную функции по той же формуле:
$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 27$:
$k = f'(27) = \frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3 \cdot 3^2} = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $x_0 = -3$
Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:
$k = f'(-3) = -\frac{3}{(-3)^4} = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$

4) $f(x) = \cos x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$
Найдём производную функции. Производная косинуса равна минус синусу: $(\cos x)' = -\sin x$.
$f'(x) = -\sin x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:
$k = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(-\frac{\pi}{2})$.
Поскольку синус — нечётная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$k = -(-\sin(\frac{\pi}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: 1

35.14. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 35.6) значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

Рис. 35.6

a

$45^\circ, 30^\circ$

б

$120^\circ$

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, справедливо равенство: $f'(x_0) = k = \tan(\alpha)$.

a)

На графике, представленном на рисунке а, касательная к графику функции $f$ в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке равно:$f'(x_1) = \tan(45^\circ) = 1$.

Касательная в точке $x_2$ образует с положительным направлением оси абсцисс угол $30^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке равно:$f'(x_2) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 1$; $f'(x_2) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б)

На графике, представленном на рисунке б, касательная к графику функции $f$ в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси абсцисс угол $120^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке равно:$f'(x_1) = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Касательная в точке $x_2$ является горизонтальной прямой, то есть она параллельна оси абсцисс. Угол наклона такой прямой к положительному направлению оси абсцисс равен $0^\circ$. Точка $x_2$ является точкой локального минимума функции. Следовательно, значение производной в этой точке равно:$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\sqrt{3}$; $f'(x_2) = 0$.

35.15. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 35.7) значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

Рис. 35.7

a

б

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$. Формула: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

а)

Для графика на рисунке а:

В точке $x_1$ функция достигает локального максимума. Касательная к графику в этой точке является горизонтальной прямой, параллельной оси $x$. Угол наклона такой прямой к положительному направлению оси $x$ равен $0^\circ$.
Следовательно, $f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

В точке $x_2$ к графику проведена касательная. Угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $x$, по условию равен $60^\circ$.
Следовательно, $f'(x_2) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = \sqrt{3}$.

б)

Для графика на рисунке б:

В точке $x_1$ к графику проведена касательная. Угол, который эта касательная образует с положительным направлением оси $x$, по условию равен $150^\circ$.
Следовательно, $f'(x_1) = \tan(150^\circ)$. Используя формулы приведения, получаем: $f'(x_1) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

В точке $x_2$ функция достигает локального минимума. Касательная к графику в этой точке является горизонтальной прямой, параллельной оси $x$. Угол наклона такой прямой равен $0^\circ$.
Следовательно, $f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.