Номер 35.13, страница 259 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.13. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^4, x_0 = -2;$

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}, x_0 = 27;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}, x_0 = -3;$

4) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ — это тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти угловой коэффициент $k$, нужно найти производную функции и вычислить её значение в точке $x_0$: $k = f'(x_0)$.

1) $f(x) = x^4$, $x_0 = -2$
Сначала найдём производную функции $f(x)$. Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$k = f'(-2) = 4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot (-8) = -32$.
Ответ: -32

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 27$
Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/3}$.
Найдём производную функции по той же формуле:
$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 27$:
$k = f'(27) = \frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3 \cdot 3^2} = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{27}$

3) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $x_0 = -3$
Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-3}$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:
$k = f'(-3) = -\frac{3}{(-3)^4} = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$

4) $f(x) = \cos x$, $x_0 = -\frac{\pi}{2}$
Найдём производную функции. Производная косинуса равна минус синусу: $(\cos x)' = -\sin x$.
$f'(x) = -\sin x$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:
$k = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(-\frac{\pi}{2})$.
Поскольку синус — нечётная функция ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:
$k = -(-\sin(\frac{\pi}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: 1