Номер 35.8, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}, x_0 = 81;$

2) $f(x) = x^3 \sqrt[4]{x}, x_0 = 1;$

3) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}, x_0 = 16;$

4) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}, x_0 = 64.$

1) $f(x) = x\sqrt{x}$, $x_0 = 81$

Для того чтобы найти производную, сначала упростим функцию, представив ее в виде степенной функции.
Используем свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и определение корня $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$:
$f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
Теперь найдем производную функции, используя формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 81$:
$f'(81) = \frac{3}{2}\sqrt{81} = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13,5$

Ответ: $13,5$

2) $f(x) = x^3\sqrt[4]{x}$, $x_0 = 1$

Упростим функцию, используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и определение корня $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$:
$f(x) = x^3 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{3+\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}+\frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{13}{4}}\right)' = \frac{13}{4}x^{\frac{13}{4}-1} = \frac{13}{4}x^{\frac{9}{4}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{13}{4} \cdot 1^{\frac{9}{4}} = \frac{13}{4} \cdot 1 = \frac{13}{4} = 3,25$

Ответ: $3,25$

3) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}$, $x_0 = 16$

Упростим функцию. Сначала преобразуем выражение под корнем, а затем и всю функцию:
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
$f(x) = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
Используем свойство степени $(x^a)^b = x^{ab}$:
$f(x) = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$f'(16) = \frac{3}{4\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

4) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, $x_0 = 64$

Упростим функцию, используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:
$f(x) = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{2-\frac{1}{6}} = x^{\frac{12}{6}-\frac{1}{6}} = x^{\frac{11}{6}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{11}{6}}\right)' = \frac{11}{6}x^{\frac{11}{6}-1} = \frac{11}{6}x^{\frac{5}{6}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot 64^{\frac{5}{6}}$
Для вычисления $64^{\frac{5}{6}}$ представим его как $(\sqrt[6]{64})^5$. Так как $2^6=64$, то $\sqrt[6]{64}=2$.
$64^{\frac{5}{6}} = (\sqrt[6]{64})^5 = 2^5 = 32$
Подставим это значение обратно в выражение для производной:
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot 32 = \frac{11 \cdot 16}{3} = \frac{176}{3}$

Ответ: $\frac{176}{3}$