gdz.top
Номер 35.10, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 35. Понятие производной - номер 35.10, страница 258.
№35.9
№35.10 (с. 258)
Условие. №35.10 (с. 258)
35.10. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:
1) $f(x) = \frac{3}{x}$;
2) $f(x) = 4 - x^2$.
Решение 1. №35.10 (с. 258)
Решение 2. №35.10 (с. 258)
Решение 3. №35.10 (с. 258)
Решение 4. №35.10 (с. 258)
Решение 5. №35.10 (с. 258)
Для нахождения производной функции $f(x)$ по определению используется следующая формула (предел отношения приращения функции к приращению аргумента):
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
1) Найдем производную для функции $f(x) = \frac{3}{x}$.
Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x + \Delta x$.
$f(x + \Delta x) = \frac{3}{x + \Delta x}$.
Шаг 2: Составим отношение приращения функции к приращению аргумента.
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x}}{\Delta x}$.
Шаг 3: Упростим выражение в числителе, приведя дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$.
$\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x} = \frac{3x - 3(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{3x - 3x - 3\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.
Шаг 4: Подставим упрощенный числитель обратно в отношение.
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)\Delta x}$.
Шаг 5: Сократим дробь на $\Delta x$.
$\frac{-3}{x(x + \Delta x)}$.
Шаг 6: Найдем предел полученного выражения при $\Delta x \to 0$.
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3}{x(x + 0)} = -\frac{3}{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.
2) Найдем производную для функции $f(x) = 4 - x^2$.
Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x + \Delta x$.
$f(x + \Delta x) = 4 - (x + \Delta x)^2 = 4 - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.
Шаг 2: Составим разность $f(x + \Delta x) - f(x)$.
$f(x + \Delta x) - f(x) = (4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (4 - x^2)$.
Шаг 3: Упростим полученное выражение.
$4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 - 4 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$.
Шаг 4: Составим отношение приращения функции к приращению аргумента.
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2x\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}$.
Шаг 5: Вынесем $\Delta x$ в числителе за скобки и сократим дробь.
$\frac{\Delta x(-2x - \Delta x)}{\Delta x} = -2x - \Delta x$.
Шаг 6: Найдем предел полученного выражения при $\Delta x \to 0$.
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x - \Delta x) = -2x - 0 = -2x$.
Ответ: $f'(x) = -2x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 35.10 расположенного на странице 258 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №35.10 (с. 258), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.