Номер 35.11, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.11. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

где $\Delta x$ – приращение аргумента, а $\Delta f$ – приращение функции.

1) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$

1. Найдём приращение функции $\Delta f$. Сначала вычислим значение функции при аргументе $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Теперь найдём разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Приведём дроби к общему знаменателю $x^2(x + \Delta x)^2$:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов или квадрат суммы:

$(x + \Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

Таким образом, приращение функции равно:

$\Delta f = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2}$

3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{x^3}$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$

1. Найдём приращение функции $\Delta f$. Сначала вычислим значение функции при аргументе $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + (3x + 3\Delta x) - 2$

Теперь найдём разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.