gdz.top
Номер 35.9, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 35. Понятие производной - номер 35.9, страница 258.
№35.8
№35.9 (с. 258)
Условие. №35.9 (с. 258)
35.9. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:
1) $f(x) = x \sqrt[4]{x}, x_0 = 256;$
2) $f(x) = \sqrt[8]{x \sqrt{x}}, x_0 = 1.$
Решение 1. №35.9 (с. 258)
Решение 2. №35.9 (с. 258)
Решение 3. №35.9 (с. 258)
Решение 4. №35.9 (с. 258)
Решение 5. №35.9 (с. 258)
1)
Для того чтобы найти производную функции $f(x) = x\sqrt[4]{x}$, сначала упростим ее, представив в виде степенной функции. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и определение корня $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:
$f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{1+\frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}}$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{5}{4}}$, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \left(x^{\frac{5}{4}}\right)' = \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 256$:
$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 256^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt[4]{256}$.
Поскольку $4^4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.
$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.
Ответ: 5
2)
Сначала упростим функцию $f(x) = \sqrt[8]{x\sqrt{x}}$, представив ее в виде степенной функции. Преобразуем выражение под корнем: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.
Теперь подставим это обратно в функцию:
$f(x) = \sqrt[8]{x^{\frac{3}{2}}}$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$f(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8}} = x^{\frac{3}{16}}$.
Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{16}}$ по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{16}}\right)' = \frac{3}{16}x^{\frac{3}{16}-1} = \frac{3}{16}x^{-\frac{13}{16}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1^{-\frac{13}{16}}$.
Поскольку любое число 1 в любой степени равно 1, то $1^{-\frac{13}{16}} = 1$.
$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1 = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 35.9 расположенного на странице 258 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №35.9 (с. 258), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.