Номер 35.4, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.4. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$.

1) Для дифференцирования функции $y = \sqrt[4]{x}$ необходимо сначала представить ее в виде степенной функции. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:
$y = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$
Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$:
$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

2) Представим функцию $y = \sqrt[8]{x^7}$ в виде степенной функции:
$y = x^{\frac{7}{8}}$
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$

3) Для дифференцирования функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сначала преобразуем ее в степенную форму. Используя свойства $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$
Теперь находим производную:
$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

4) Преобразуем функцию $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$ в степенную форму:
$y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$
Применим правило дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{-\frac{5}{8}})' = -\frac{5}{8} \cdot x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-\frac{8}{8}} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$