Номер 34.11, страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.11. Известно, что $ \text{tg } \alpha = \sqrt{3} $ и $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. Найдите угол $ \alpha $.

Для того чтобы найти угол $\alpha$, нам нужно решить тригонометрическое уравнение $\tg \alpha = \sqrt{3}$ с учетом дополнительного условия, что угол $\alpha$ находится в интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Решение уравнения $\tg \alpha = \sqrt{3}$

Общее решение тригонометрического уравнения для тангенса имеет вид $\alpha = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $a$ - значение тангенса, а $n$ - любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \sqrt{3}$. Таким образом, общее решение:

$\alpha = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или 60°).

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Учет интервала $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$

Теперь нам нужно выбрать из всех возможных решений те, которые попадают в заданный интервал, то есть удовлетворяют неравенству:

$0 < \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим различные целые значения $n$:

• Если $n = 0$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$.
  Проверим, попадает ли это значение в интервал: $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Это неравенство верно, так как $\frac{1}{3}$ находится между 0 и $\frac{1}{2}$. Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{3}$ является решением.
• Если $n = 1$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$.
  Это значение больше, чем $\frac{\pi}{2}$, поэтому оно не удовлетворяет условию.
• Если $n = -1$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot (-1) = -\frac{2\pi}{3}$.
  Это значение меньше 0, поэтому оно также не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственное значение угла $\alpha$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3}$.