Номер 35.5, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.5. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[9]{x};$

2) $y = \sqrt[6]{x^5};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[9]{x}$, сначала представим ее в виде степенной функции. Используем свойство корня: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

В данном случае $n=9$ и $m=1$, поэтому:

$y = \sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$

Теперь применим формулу для нахождения производной степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-\frac{9}{9}} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$

Для удобства вернемся к записи с корнем, используя свойство $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$:

$y' = \frac{1}{9x^{\frac{8}{9}}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$

2) Продифференцируем функцию $y = \sqrt[6]{x^5}$. Аналогично первому пункту, преобразуем ее в степенную функцию:

$y = \sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$

Применим формулу производной степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1} = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-\frac{6}{6}} = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$

Представим результат в виде выражения с корнем:

$y' = \frac{5}{6x^{\frac{1}{6}}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$

3) Найдем производную функции $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}$. Сначала представим это выражение в виде степени с отрицательным показателем. Для этого используем два свойства: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ и $\frac{1}{a^k} = a^{-k}$.

Преобразуем знаменатель:

$\sqrt[12]{x^7} = x^{\frac{7}{12}}$

Теперь преобразуем всю функцию:

$y = \frac{1}{x^{\frac{7}{12}}} = x^{-\frac{7}{12}}$

Находим производную по формуле $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{-\frac{7}{12}})' = -\frac{7}{12}x^{-\frac{7}{12}-1} = -\frac{7}{12}x^{-\frac{7}{12}-\frac{12}{12}} = -\frac{7}{12}x^{-\frac{19}{12}}$

Запишем ответ в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = -\frac{7}{12x^{\frac{19}{12}}} = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}}$

Полученный корень можно упростить: $\sqrt[12]{x^{19}} = \sqrt[12]{x^{12} \cdot x^7} = x\sqrt[12]{x^7}$. Тогда производная примет вид:

$y' = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}$

Ответ: $y' = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}}$ (или в упрощенном виде $y' = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}$)