Номер 34.5, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.5. Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Найдем $\frac{\Delta f}{\Delta x}$
Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдем приращение функции $\Delta f$. По определению, приращение функции равно:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Сначала вычислим значения функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$f(x_0) = x_0^2 - x_0$
$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - x_0 - \Delta x = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x$.
Теперь найдем разность этих значений, чтобы получить $\Delta f$:
$\Delta f = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x) - (x_0^2 - x_0)$.
Раскроем скобки и упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$.
Далее, найдем отношение приращения функции к приращению аргумента, разделив $\Delta f$ на $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x_0 + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$.
Ответ: $2x_0 + \Delta x - 1$.

Найдем $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$
Теперь найдем предел полученного отношения при $\Delta x$, стремящемся к нулю. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1)$.
Когда $\Delta x \to 0$, значение слагаемого $\Delta x$ также стремится к нулю. Таким образом, мы можем подставить 0 вместо $\Delta x$ в выражение под знаком предела:
$\lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1) = 2x_0 + 0 - 1 = 2x_0 - 1$.
Ответ: $2x_0 - 1$.