Номер 35.22, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.22. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3, k = 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x}, k = \frac{1}{4};$

3) $f(x) = \frac{1}{x^2}, k = -\frac{1}{4};$

4) $f(x) = \sin x, k = 0.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$. Чтобы найти $x_0$, необходимо найти производную функции $f'(x)$, приравнять ее к заданному угловому коэффициенту $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) Дана функция $f(x) = x^3$ и угловой коэффициент $k = 3$.
Находим производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$3x_0^2 = 3$
$x_0^2 = 1$
$x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.
Ответ: $1; -1$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$.
Область определения функции: $x \ge 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Производная определена для $x > 0$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{4}$
$2\sqrt{x_0} = 4$
$\sqrt{x_0} = 2$
$x_0 = 4$.
Ответ: $4$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ и угловой коэффициент $k = -\frac{1}{4}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$-\frac{2}{x_0^3} = -\frac{1}{4}$
$\frac{2}{x_0^3} = \frac{1}{4}$
$x_0^3 = 2 \cdot 4$
$x_0^3 = 8$
$x_0 = 2$.
Ответ: $2$.

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и угловой коэффициент $k = 0$.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравниваем производную к угловому коэффициенту в точке $x_0$: $f'(x_0) = k$.
$\cos x_0 = 0$
Решениями данного тригонометрического уравнения являются:
$x_0 = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.