Номер 35.26, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.26. Упростите выражение $\left(\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2}\right)\left(\frac{a-9}{a+3}\right)^2 + \frac{7+a}{9+a}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия в соответствии с порядком их выполнения.

Исходное выражение:

$\left( \frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} \right) \left( \frac{a-9}{a+3} \right)^2 + \frac{7+a}{9+a}$

1. Первым действием выполним сложение дробей в скобках. Для этого найдем общий знаменатель, который равен $(a-9)^2(a+9)$.

$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2} = \frac{(a+5)(a-9)}{(a-9)^2(a+9)} + \frac{(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Теперь сложим числители этих дробей:

$\frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a+5)(a-9) = a^2 - 9a + 5a - 45 = a^2 - 4a - 45$

$(a+7)(a+9) = a^2 + 9a + 7a + 63 = a^2 + 16a + 63$

Сложим полученные выражения в числителе:

$(a^2 - 4a - 45) + (a^2 + 16a + 63) = 2a^2 + 12a + 18$

Вынесем общий множитель 2 и свернем полученный трехчлен по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$2a^2 + 12a + 18 = 2(a^2 + 6a + 9) = 2(a+3)^2$

Результат первого действия:

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}$

2. Вторым действием умножим результат, полученный в первом действии, на второй множитель.

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \left( \frac{a-9}{a+3} \right)^2 = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2}$

Сократим одинаковые множители $(a+3)^2$ и $(a-9)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{(a+3)^2}}{\cancel{(a-9)^2}(a+9)} \cdot \frac{\cancel{(a-9)^2}}{\cancel{(a+3)^2}} = \frac{2}{a+9}$

3. Третьим действием выполним сложение результата второго действия с последней дробью в выражении.

$\frac{2}{a+9} + \frac{7+a}{9+a}$

Поскольку $a+9 = 9+a$, дроби имеют одинаковый знаменатель. Сложим их числители:

$\frac{2 + (7+a)}{a+9} = \frac{9+a}{a+9} = 1$

Данное равенство справедливо для всех допустимых значений переменной $a$, при которых знаменатели исходного выражения не обращаются в ноль, то есть при $a \neq 9$, $a \neq -9$ и $a \neq -3$.

Ответ: 1