Номер 36.4, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.4. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$;

3) $y = x^4 \cos x$;

4) $y = x \operatorname{tg} x$.

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$

Для нахождения производной функции, представленной в виде произведения двух множителей, применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^3 - 2$ и $v = x^2 + 1$.
Найдем производные каждого множителя:
$u' = (x^3 - 2)' = 3x^2$
$v' = (x^2 + 1)' = 2x$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$
Ответ: $5x^4 + 3x^2 - 4x$.

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x + 5$ и $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (x + 5)' = 1$
$v' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Подставим в формулу:
$y' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x+5}{2\sqrt{x}}$
Приведем к общему знаменателю:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x+5}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x+5}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+5}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $\frac{3x+5}{2\sqrt{x}}$.

3) $y = x^4 \cos x$

Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u = x^4$ и $v = \cos x$.
Найдем их производные:
$u' = (x^4)' = 4x^3$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = (4x^3)(\cos x) + (x^4)(-\sin x)$
Упрощаем выражение:
$y' = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x$
Ответ: $4x^3 \cos x - x^4 \sin x$.

4) $y = x \operatorname{tg} x$

Снова используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
В данном случае $u = x$ и $v = \operatorname{tg} x$.
Найдем производные:
$u' = (x)' = 1$
$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Подставим в формулу:
$y' = (1)(\operatorname{tg} x) + (x) \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)$
В результате получаем:
$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$
Ответ: $\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$.