Номер 36.1, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10;$

2) $y = 4x^6 + 20\sqrt{x};$

3) $y = x^8 + 7x^6 + \frac{4}{x} - 1;$

4) $y = 4\sin x - 5\cos x;$

5) $y = \operatorname{tg} x - 9x;$

6) $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}.$

1) Для нахождения производной функции $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10$ применим правила дифференцирования: производная суммы/разности равна сумме/разности производных, производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, и производная константы равна нулю.
$y' = (x^3 - 3x^2 + 6x - 10)' = (x^3)' - (3x^2)' + (6x)' - (10)'$
Применяя формулы для каждого слагаемого, получаем:
$y' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 6 \cdot 1x^{1-1} - 0 = 3x^2 - 6x + 6$.
Ответ: $3x^2 - 6x + 6$.

2) Дана функция $y = 4x^6 + 20\sqrt{x}$. Для дифференцирования представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Тогда функция примет вид: $y = 4x^6 + 20x^{1/2}$.
Находим производную как сумму производных, используя правило для степенной функции:
$y' = (4x^6 + 20x^{1/2})' = (4x^6)' + (20x^{1/2})' = 4 \cdot 6x^{6-1} + 20 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 24x^5 + 10x^{-1/2}$.
Результат можно записать, вернувшись к обозначению с корнем, так как $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
$y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $y = x^8 + 7x^6 + \frac{4}{x} - 1$. Преобразуем слагаемое с дробью в степенной вид: $\frac{4}{x} = 4x^{-1}$.
Функция примет вид: $y = x^8 + 7x^6 + 4x^{-1} - 1$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
$y' = (x^8)' + (7x^6)' + (4x^{-1})' - (1)' = 8x^{8-1} + 7 \cdot 6x^{6-1} + 4 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = 8x^7 + 42x^5 - 4x^{-2}$.
Запишем слагаемое с отрицательной степенью в виде дроби, так как $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
$y' = 8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2}$.
Ответ: $8x^7 + 42x^5 - \frac{4}{x^2}$.

4) Дана функция $y = 4\sin x - 5\cos x$. Для ее дифференцирования используем известные производные тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (4\sin x - 5\cos x)' = 4(\sin x)' - 5(\cos x)'$.
Подставляем значения производных:
$y' = 4(\cos x) - 5(-\sin x) = 4\cos x + 5\sin x$.
Ответ: $4\cos x + 5\sin x$.

5) Дана функция $y = \tg x - 9x$. Используем производную тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную линейной функции $(kx)' = k$.
$y' = (\tg x - 9x)' = (\tg x)' - (9x)'$.
Подставляя табличные значения производных, получаем:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2 x} - 9$.

6) Дана функция $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}$. Здесь мы применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для отрицательных показателей степени.
$y' = (2x^{-2} + 3x^{-3})' = (2x^{-2})' + (3x^{-3})'$.
$y' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} + 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -4x^{-3} - 9x^{-4}$.
Этот результат можно также преобразовать к дробям: $y' = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.
Ответ: $-4x^{-3} - 9x^{-4}$.