Страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Запишите уравнение касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ является уравнением прямой. Общий вид уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, выглядит так: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Для нахождения уравнения касательной необходимо определить компоненты этого уравнения: точку касания и угловой коэффициент.

Точкой касания является точка на графике функции с заданной абсциссой $x_0$. Ордината этой точки, $y_0$, находится путем подстановки $x_0$ в функцию: $y_0 = f(x_0)$. Таким образом, касательная проходит через точку с координатами $(x_0, f(x_0))$.

Угловой коэффициент касательной $k$ по своему геометрическому смыслу равен значению производной функции в точке касания. Следовательно, $k = f'(x_0)$.

Теперь подставим найденные значения для точки касания $(y_0 = f(x_0))$ и углового коэффициента $(k = f'(x_0))$ в общее уравнение прямой:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Выразив $y$, получаем окончательную формулу для уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

37.1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1;$

2) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = \frac{1}{2};$

3) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9;$

4) $f(x) = \sin x, x_0 = 0;$

5) $f(x) = \cos x, x_0 = \pi;$

6) $f(x) = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{2};$

7) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2;$

8) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2.$

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ находится по формуле:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1$

1. Находим значение функции в точке $x_0$:
$f(-1) = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = 1 - 3 = -2$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$.

3. Находим значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = 1$.

4. Подставляем найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:
$y = -2 + 1 \cdot (x - (-1))$
$y = -2 + x + 1$
$y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.

2) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = \frac{1}{2}$

1. $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{1/2} = 2$.

2. $f'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

3. $f'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{(1/2)^2} = -\frac{1}{1/4} = -4$.

4. $y = 2 + (-4) \cdot (x - \frac{1}{2})$
$y = 2 - 4x + 4 \cdot \frac{1}{2}$
$y = 2 - 4x + 2$
$y = -4x + 4$.

Ответ: $y = -4x + 4$.

3) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9$

1. $f(9) = 4\sqrt{9} - 3 = 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9$.

2. $f'(x) = (4x^{1/2} - 3)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

3. $f'(9) = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

4. $y = 9 + \frac{2}{3}(x - 9)$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \cdot 9$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - 6$
$y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

4) $f(x) = \sin x, x_0 = 0$

1. $f(0) = \sin 0 = 0$.

2. $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. $f'(0) = \cos 0 = 1$.

4. $y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.

Ответ: $y = x$.

5) $f(x) = \cos x, x_0 = \pi$

1. $f(\pi) = \cos \pi = -1$.

2. $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. $f'(\pi) = -\sin \pi = 0$.

4. $y = -1 + 0 \cdot (x - \pi)$
$y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

6) $f(x) = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}), x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. $f(\frac{\pi}{2}) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. $f'(x) = (\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

3. $f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\sqrt{2}/2)^2} = \frac{1}{2/4} = 2$.

4. $y = 1 + 2(x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1 + 2x - \pi$
$y = 2x + 1 - \pi$.

Ответ: $y = 2x + 1 - \pi$.

7) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2$

1. $f(-2) = \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2$.

2. $f'(x) = (\frac{x}{x+1})' = \frac{x'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. $f'(-2) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.

4. $y = 2 + 1 \cdot (x - (-2))$
$y = 2 + x + 2$
$y = x + 4$.

Ответ: $y = x + 4$.

8) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2$

1. $f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

2. $f'(x) = (\sqrt{2x+5})' = ((2x+5)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+5)^{-1/2} \cdot (2x+5)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

3. $f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2+5}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

4. $y = 3 + \frac{1}{3}(x - 2)$
$y = 3 + \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{9}{3} - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.