Номер 9, страница 181 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 4. Механические колебания и волны. Параграф 22. Превращения энергии при колебаниях. Резонанс - номер 9, страница 181.

Условие.

9. При максимальном отклонении от положения равновесия подвешенный на нити груз поднимается вверх на 3 см над положением равновесия. На какой высоте над положением равновесия находится груз, когда его кинетическая энергия равна потенциальной? За нулевой уровень потенциальной энергии выбрано положение равновесия.

Решение.

Дано:

$h_{max} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Условие: $E_{k} = E_{p}$

Нулевой уровень потенциальной энергии соответствует положению равновесия ($h=0$).

Найти:

$\text{h}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия $\text{E}$ груза (сумма его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий) остается постоянной в любой точке траектории.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

В точке максимального отклонения, на высоте $h_{max}$, груз на мгновение останавливается, поэтому его скорость, а следовательно и кинетическая энергия, равны нулю ($E_{k,max} = 0$). В этой точке потенциальная энергия максимальна. Таким образом, полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:

$E = E_{p,max} = mgh_{max}$

где $\text{m}$ — масса груза, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Теперь рассмотрим точку, в которой кинетическая энергия равна потенциальной. Обозначим высоту в этой точке как $\text{h}$. Согласно условию задачи:

$E_k = E_p$

Потенциальная энергия на высоте $\text{h}$ определяется формулой:

$E_p = mgh$

Полная энергия в этой точке будет равна:

$E = E_k + E_p = E_p + E_p = 2E_p = 2mgh$

Поскольку полная механическая энергия сохраняется, мы можем приравнять ее значения в точке максимального отклонения и в искомой точке:

$mgh_{max} = 2mgh$

Сократим обе части уравнения на $mg$ (масса и ускорение свободного падения не равны нулю):

$h_{max} = 2h$

Отсюда выражаем искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{h_{max}}{2}$

Подставим известное значение $h_{max}$:

$h = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$

Ответ: груз находится на высоте 1,5 см над положением равновесия.