Номер 3, страница 181 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 4. Механические колебания и волны. Параграф 22. Превращения энергии при колебаниях. Резонанс - номер 3, страница 181.

Условие.

3. Расскажите о вынужденных колебаниях.

Решение.

Решение

Вынужденными колебаниями называют колебания, которые совершаются в системе под действием внешней, периодически изменяющейся силы. В отличие от свободных колебаний, которые происходят за счет начального запаса энергии и постепенно затухают из-за трения, вынужденные колебания являются незатухающими, поскольку потери энергии в системе постоянно восполняются за счет работы внешней силы.

Основной особенностью вынужденных колебаний является то, что по прошествии некоторого времени (переходного процесса, во время которого происходит наложение свободных затухающих колебаний и вынужденных) их частота устанавливается равной частоте $\omega$ вынуждающей силы, а не собственной частоте $\omega_0$ колебательной системы. Амплитуда и фаза установившихся вынужденных колебаний зависят как от свойств самой системы (собственной частоты, затухания), так и от параметров внешнего воздействия (амплитуды и частоты вынуждающей силы).

Математически вынужденные колебания в простейшем случае (линейный осциллятор) описываются дифференциальным уравнением второго порядка:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + r \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t)$

где $\text{x}$ — смещение тела от положения равновесия, $\text{m}$ — масса тела, $\text{r}$ — коэффициент сопротивления (характеризует затухание), $\text{k}$ — коэффициент жесткости, $F_0$ — амплитуда вынуждающей силы, а $\omega$ — ее циклическая частота.

Установившиеся колебания, которые происходят после затухания переходного процесса, описываются гармонической функцией с частотой вынуждающей силы:

$x(t) = A \cos(\omega t - \phi)$

Амплитуда $\text{A}$ этих колебаний и сдвиг фаз $\phi$ относительно фазы вынуждающей силы зависят от частоты $\omega$:

$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2\omega^2}}$

$\tan(\phi) = \frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}$

Здесь $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ — собственная циклическая частота колебаний системы, а $\beta = r/(2m)$ — коэффициент затухания.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний $\text{A}$ при приближении частоты вынуждающей силы $\omega$ к собственной частоте системы $\omega_0$ называется резонансом. Частота, при которой амплитуда достигает максимума, называется резонансной. При малом затухании $(\beta \ll \omega_0)$ резонансная частота практически совпадает с собственной частотой системы. В резонансе даже небольшая внешняя сила способна вызвать колебания очень большой амплитуды. Величина максимальной амплитуды при резонансе ограничивается только затуханием в системе: чем меньше затухание, тем выше и острее пик резонансной кривой.

Примерами вынужденных колебаний служат раскачивание качелей периодическими толчками, вибрация корпуса гитары под действием колеблющейся струны, колебания мембраны микрофона под действием звуковой волны. Явление резонанса используется в радиоприемниках для настройки на определенную станцию, но также может быть разрушительным, например, приводить к разрушению мостов под действием ветра или шагов солдат.

Ответ:

Вынужденные колебания — это незатухающие колебания, которые происходят в системе под действием внешней периодической силы. Их ключевые характеристики: частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней (вынуждающей) силы; амплитуда колебаний зависит от амплитуды и частоты внешней силы, а также от параметров системы (собственной частоты и затухания); при приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы наблюдается явление резонанса — резкое увеличение амплитуды колебаний. Величина резонансной амплитуды ограничивается силами трения (затуханием) в системе.