Номер 14, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 4. Механические колебания и волны. Параграф 21. Механические колебания - номер 14, страница 176.

Условие.

14. Расскажите о гармонических колебаниях.

Решение.

Определение гармонических колебаний

Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых физическая величина (например, смещение, скорость, сила тока) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Это самый простой и важный вид периодических колебаний, так как более сложные периодические процессы можно представить как сумму гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний

Зависимость колеблющейся величины $\text{x}$ от времени $\text{t}$ при гармонических колебаниях выражается формулой:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$
или, что эквивалентно,
$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0')$
где:
• $x(t)$ – смещение системы от положения равновесия в момент времени $\text{t}$.
• $\text{A}$ – амплитуда колебаний, это максимальное значение смещения от положения равновесия ($A > 0$).
• $\omega$ – циклическая (или круговая) частота, показывает, на какую величину изменяется фаза колебаний за единицу времени. Измеряется в радианах в секунду (рад/с).
• $(\omega t + \phi_0)$ – фаза колебаний, определяет состояние колебательной системы (ее смещение и скорость) в любой момент времени $\text{t}$. Измеряется в радианах.
• $\phi_0$ – начальная фаза, определяет фазу колебаний в начальный момент времени ($t=0$).

Основные характеристики гармонических колебаний

Помимо величин, входящих в уравнение, гармонические колебания характеризуются периодом и частотой.
• Период колебаний ($\text{T}$) – это наименьший промежуток времени, через который состояние системы полностью повторяется. Он связан с циклической частотой соотношением:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
Единица измерения в СИ – секунда (с).
• Частота колебаний ($\nu$) – это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Она является величиной, обратной периоду:
$\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
Единица измерения в СИ – герц (Гц), $1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Скорость $\text{v}$ и ускорение $\text{a}$ тела, совершающего гармонические колебания, также изменяются по гармоническому закону. Их можно найти, взяв производные по времени от уравнения смещения $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$:
• Скорость:
$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$
Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равно $v_{max} = A\omega$ и достигается при прохождении положения равновесия ($x=0$). Колебания скорости опережают по фазе колебания смещения на $\frac{\pi}{2}$.
• Ускорение:
$a(t) = v'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0) = A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0 + \pi)$
Из этой формулы видно, что $a(t) = -\omega^2 x(t)$. Ускорение прямо пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению (т.е. всегда к положению равновесия). Максимальное значение ускорения (амплитуда ускорения) равно $a_{max} = A\omega^2$ и достигается в точках максимального отклонения. Колебания ускорения находятся в противофазе с колебаниями смещения (сдвиг фаз равен $\pi$).

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Соотношение $a(t) = -\omega^2 x(t)$ можно записать в виде дифференциального уравнения, так как $a(t) = \ddot{x}(t)$ (вторая производная смещения по времени):
$\ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0$
Это основное уравнение, описывающее свободные незатухающие гармонические колебания. Любая система, движение которой описывается таким уравнением, совершает гармонические колебания.

Энергия при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.
• Кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \phi_0)}{2}$
• Потенциальная энергия: $E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{m\omega^2 x^2}{2} = \frac{m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi_0)}{2}$ (где $k = m\omega^2$ - коэффициент, характеризующий возвращающую силу, например, жесткость пружины).
• Полная механическая энергия:
$E = E_k + E_p = \frac{m A^2 \omega^2}{2} (\sin^2(\omega t + \phi_0) + \cos^2(\omega t + \phi_0)) = \frac{m A^2 \omega^2}{2} = \frac{k A^2}{2} = \text{const}$
Полная энергия системы, совершающей свободные гармонические колебания, остается постоянной и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты колебаний.

Примеры систем, совершающих гармонические колебания

• Пружинный маятник: груз массой $\text{m}$ на пружине жесткостью $\text{k}$. Циклическая частота его колебаний $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
• Математический маятник: материальная точка на невесомой нерастяжимой нити длиной $\text{l}$. При малых углах отклонения его колебания являются гармоническими с циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.
• Физический маятник: твердое тело, колеблющееся вокруг неподвижной горизонтальной оси. При малых отклонениях его колебания гармонические с частотой $\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}$, где $\text{I}$ - момент инерции тела относительно оси, $\text{d}$ - расстояние от оси до центра масс.
• Электрический колебательный контур (LC-контур): система из катушки индуктивностью $\text{L}$ и конденсатора емкостью $\text{C}$. Колебания заряда и тока в идеальном контуре являются гармоническими с циклической частотой $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Ответ: Гармонические колебания – это колебательные процессы, при которых физическая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Они описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ и характеризуются амплитудой ($\text{A}$), циклической частотой ($\omega$), периодом ($T=2\pi/\omega$) и начальной фазой ($\phi_0$). Отличительной чертой гармонических колебаний является то, что ускорение колеблющейся точки (или вторая производная величины) прямо пропорционально ее смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону: $a = -\omega^2 x$. Полная энергия системы при таких колебаниях (в отсутствие диссипации) сохраняется и пропорциональна квадрату амплитуды. Примерами систем, совершающих гармонические колебания, служат пружинный и математический маятники (при малых амплитудах), а также идеальный LC-контур.