Номер 4, страница 334 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Электростатика. Глава 8. Свойства электрического поля. Параграф 40. Потенциал и разность потенциалов - номер 4, страница 334.

Условие.

4. Объясните, почему напряжённость поля направлена в сторону убывания потенциала.

Решение.

Решение

Связь между напряжённостью электростатического поля $ \vec{E} $ и потенциалом $ \varphi $ можно объяснить, рассмотрев работу, совершаемую полем при перемещении пробного заряда.

1. По определению, вектор напряжённости $ \vec{E} $ в данной точке пространства совпадает по направлению с силой $ \vec{F} $, которая действует на положительный пробный заряд $ q $, помещённый в эту точку ($ \vec{F} = q\vec{E} $). Если такой заряд отпустить, он начнёт двигаться в направлении вектора $ \vec{E} $, и электрическое поле будет совершать над ним положительную работу.

2. Работа $ A_{12} $, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда $ q $ из начальной точки 1 в конечную точку 2, определяется разностью потенциалов в этих точках:

$ A_{12} = q(\varphi_1 - \varphi_2) $

3. Сопоставим эти два утверждения. Пусть положительный заряд ($ q > 0 $) перемещается по направлению силовой линии поля, то есть в направлении вектора $ \vec{E} $. Как мы установили, в этом случае работа поля положительна: $ A_{12} > 0 $.

Из формулы для работы следует, что если $ A_{12} > 0 $ и $ q > 0 $, то и разность потенциалов $ (\varphi_1 - \varphi_2) $ должна быть положительной:

$ \varphi_1 - \varphi_2 > 0 $

Это неравенство можно переписать как:

$ \varphi_1 > \varphi_2 $

Таким образом, перемещение в направлении вектора напряжённости $ \vec{E} $ соответствует переходу из точки с более высоким потенциалом ($ \varphi_1 $) в точку с более низким потенциалом ($ \varphi_2 $). Это и означает, что вектор напряжённости электрического поля всегда направлен в сторону убывания (уменьшения) потенциала.

Эта фундаментальная связь математически выражается через оператор градиента:

$ \vec{E} = -\nabla\varphi $

Знак «минус» в этой формуле как раз и указывает на то, что вектор $ \vec{E} $ направлен в сторону, противоположную вектору градиента потенциала, то есть в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

Ответ: Вектор напряжённости поля $ \vec{E} $ по определению указывает направление силы, действующей на положительный заряд. Под действием этой силы положительный заряд самопроизвольно перемещается из области с большей потенциальной энергией в область с меньшей. Поскольку потенциал $ \varphi $ является потенциальной энергией на единицу заряда, то движение в направлении силы (и, следовательно, в направлении $ \vec{E} $) соответствует переходу из точки с большим потенциалом в точку с меньшим. Следовательно, вектор напряжённости всегда направлен в сторону убывания потенциала.