Номер 8, страница 352 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Лабораторные работы. 5. Изучение закона сохранения механической энергии - номер 8, страница 352.

Условие.

8. Найдите значение отношения $\frac{E_{\text{пр}}}{|\Delta E_{\text{гр}}|}$.

Решение.

8. Решение

В задаче требуется найти значение отношения потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_{пр}$ к модулю изменения гравитационной потенциальной энергии $|\Delta E_{гр}|$. Формулировка задачи не содержит конкретных данных или описания физической системы и процесса. Это означает, что искомое отношение является универсальной константой для определённого класса процессов.

Рассмотрим систему, в которой действуют только консервативные силы: сила тяжести и сила упругости. Для такой системы справедлив закон сохранения полной механической энергии:

$\Delta E_k + \Delta E_{гр} + \Delta E_{пр} = 0$

где $\Delta E_k$ — изменение кинетической энергии системы, $\Delta E_{гр}$ — изменение гравитационной потенциальной энергии, а $\Delta E_{пр}$ — изменение потенциальной энергии упругой деформации.

Поскольку в условии требуется найти конкретное числовое значение, не зависящее от параметров системы (массы, жёсткости пружины и т.д.), следует рассмотреть наиболее общий и показательный процесс. Таким процессом является переход системы из одного состояния покоя в другое. Например, падение тела, закреплённого на пружине, из положения, где пружина не деформирована, до нижней точки траектории, где тело на мгновение останавливается.

В этом случае начальная и конечная скорости системы равны нулю, следовательно, изменение кинетической энергии равно нулю:

$\Delta E_k = 0$

Тогда закон сохранения энергии принимает вид:

$\Delta E_{гр} + \Delta E_{пр} = 0$

Отсюда следует, что:

$\Delta E_{пр} = - \Delta E_{гр}$

Величина $E_{пр}$ в числителе искомого отношения представляет собой потенциальную энергию пружины в конечном состоянии. Будем считать, что в начальном состоянии пружина не была деформирована, то есть её начальная потенциальная энергия $E_{пр,1} = 0$. Тогда изменение потенциальной энергии пружины равно её конечному значению:

$\Delta E_{пр} = E_{пр,2} - E_{пр,1} = E_{пр,2} - 0 = E_{пр,2}$

Таким образом, $E_{пр}$ в формуле — это $E_{пр,2}$. Подставив это в полученное выше соотношение, имеем:

$E_{пр} = - \Delta E_{гр}$

Теперь мы можем найти искомое отношение:

$\frac{E_{пр}}{|\Delta E_{гр}|} = \frac{-\Delta E_{гр}}{|\Delta E_{гр}|}$

Модуль величины $|\Delta E_{гр}|$ равен модулю величины $|-\Delta E_{гр}|$. Так как энергия пружины $E_{пр} = \frac{kx^2}{2}$ всегда неотрицательна, то и $-\Delta E_{гр}$ также неотрицательно. Следовательно, $|-\Delta E_{гр}| = -\Delta E_{гр}$.

Поэтому отношение равно:

$\frac{-\Delta E_{гр}}{-\Delta E_{гр}} = 1$

Пример:

Тело массой $\text{m}$ подвешено на пружине жёсткостью $\text{k}$ и отпущено из положения, где пружина нерастянута. Найдём отношение в нижней точке траектории. В начальный и конечный моменты времени скорость тела равна нулю. Примем начальный уровень за нулевой для потенциальной энергии. В нижней точке тело сместится вниз на расстояние $x_{max}$.

По закону сохранения энергии, убыль гравитационной потенциальной энергии равна приращению потенциальной энергии пружины:

$mgx_{max} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$

В этом процессе:

• Потенциальная энергия пружины в конечной точке: $E_{пр} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$.
• Изменение гравитационной потенциальной энергии: $\Delta E_{гр} = E_{гр, конечная} - E_{гр, начальная} = -mgx_{max} - 0 = -mgx_{max}$.
• Модуль изменения: $|\Delta E_{гр}| = |-mgx_{max}| = mgx_{max}$.

Найдём их отношение:

$\frac{E_{пр}}{|\Delta E_{гр}|} = \frac{\frac{1}{2}kx_{max}^2}{mgx_{max}}$

Из закона сохранения энергии мы знаем, что $mgx_{max} = \frac{1}{2}kx_{max}^2$, поэтому числитель и знаменатель равны.

$\frac{E_{пр}}{|\Delta E_{гр}|} = 1$

Ответ: 1