Номер 2, страница 122 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 19. Механическое напряжение. Модуль Юнга. Глава 3. Динамика. Механика - номер 2, страница 122.

Условие.

2. Медный стержень длиной 20 см с площадью поперечного сечения $2 \text{ см}^2$ сжимают, приложив к его концам противоположно направленные силы. В результате модуль механического напряжения внутри стержня стал равен $\sigma = 10^6 \text{ Н/м}^2$. Определите: а) сжатие стержня; б) относительное сжатие стержня.

Решение.

Дано:

Начальная длина медного стержня, $L_0 = 20$ см
Площадь поперечного сечения, $S = 2$ см²
Механическое напряжение, $\sigma = 10^6$ Н/м²

$L_0 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

а) сжатие стержня, $|\Delta L|$
б) относительное сжатие стержня, $\epsilon$

Решение:

Для решения задачи используется закон Гука, который связывает механическое напряжение $\sigma$, относительную деформацию (в данном случае, относительное сжатие) $\epsilon$ и модуль упругости материала $E$ (модуль Юнга):

$\sigma = E \cdot \epsilon$

Относительное сжатие $\epsilon$ определяется как отношение абсолютного изменения длины $|\Delta L|$ к начальной длине стержня $L_0$:

$\epsilon = \frac{|\Delta L|}{L_0}$

Поскольку стержень изготовлен из меди, нам потребуется значение модуля Юнга для меди. Это справочная величина, примем её равной $E_{меди} \approx 1.1 \cdot 10^{11}$ Па (Н/м²).

Решение удобнее начать с пункта б).

б) относительное сжатие стержня.

Выразим относительное сжатие из закона Гука:

$\epsilon = \frac{\sigma}{E}$

Подставим известные числовые значения в формулу:

$\epsilon = \frac{10^6 \text{ Н/м}^2}{1.1 \cdot 10^{11} \text{ Н/м}^2} \approx 9.09 \cdot 10^{-6}$

Относительное сжатие является безразмерной величиной.

Ответ: Относительное сжатие стержня составляет примерно $9.1 \cdot 10^{-6}$.

а) сжатие стержня;

Теперь, зная относительное сжатие, мы можем найти абсолютное сжатие (уменьшение длины) стержня. Выразим $|\Delta L|$ из формулы для относительного сжатия:

$|\Delta L| = \epsilon \cdot L_0$

Подставим значения, используя не округленное значение $\epsilon$ для большей точности:

$|\Delta L| \approx (9.09 \cdot 10^{-6}) \cdot 0.2 \text{ м} \approx 1.818 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как и в исходных данных. Это значение также можно выразить в микрометрах (мкм) для наглядности: $1.8 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 1.8$ мкм.

Ответ: Сжатие стержня составляет примерно $1.8 \cdot 10^{-6}$ м (или $1.8$ мкм).